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- 2022-04-12 发布
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阶段训练二(范围：§2.1～§2.2)一、选择题1．椭圆＋＝1与＋＝1(0b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 D解析 由椭圆定义易知△AF1B的周长为4a＝12，解得a＝3.∵e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5，故椭圆C的方程为＋＝1.5．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于( )A．0B．2C．4D．－2答案 D解析 根据题意可知，当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，∴＝(－，－1)，＝(，－1)，∴·＝－2.6．已知椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，若＝，则过原点与线段AB的中点M连线的斜率为( )A.B.C.D．2考点 题点 答案 Cn解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mx＋ny＝1，①mx＋ny＝1，②①－②得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∵＝－1，＝，∴＝，则过原点与线段AB的中点M连线的斜率为.7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则椭圆的离心率是( )A.B.－1C.D.考点 椭圆的离心率问题题点 由a与c的关系式得离心率答案 B解析 由已知得∠MF1F2＝60°.又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，即e＝＝＝－1.8．已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为( )A．1B.C.D.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 A解析 设M(x，y)，N(x，－y)(－ab>0)中，F1，F2分别为其左、右焦点，M为椭圆上一点且MF2⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率e＝________.考点 椭圆的离心率问题题点 由a与c的关系式得离心率答案 解析 由题意，可得M或M.∵△PF1F2面积的最大值是△OMF2面积的3倍，此时P点位于上顶点或下顶点，∴×2c×b＝3××c×，∴b＝a，∴c＝＝a，n∴e＝＝.11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的短轴长为________．考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程答案 2解析 由题意知＝，可得a2＝4b2.椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.将y＝x代入可得x＝±，因此×＝，可得a＝2.因此b＝1，椭圆的短轴长为2.三、解答题12.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，则e＝＝＝＝.(2)由已知a2－b2＝1，A(0，b)，设B(x，y)，则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，n由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则＋＝1，得a2＝3，因此b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.13.如图所示，椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求椭圆C的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 (1)由对称关系可知|AB1|＝|AB2|，∵△AB1B2是面积为4的直角三角形，∴|AB1|＝|AB2|＝2，∴|OB1|＝|OA|＝2，∴A(0,2)，F2(4,0)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝＝4，b＝2，∴a＝2.∴椭圆的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝.(2)由(1)知，B1(－2,0)，B2(2,0)，显然PQ的斜率不为0.设直线PQ的方程为x＝my－2，代入椭圆方程，消元可得(m2＋5)y2－4my－16＝0，①Δ>0显然成立．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，n∴y1＋y2＝，y1y2＝，∴x1x2＝(my1－2)(my2－2)＝m2y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝，x1＋x2＝my1＋my2－4＝m(y1＋y2)－4＝.∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝－.∵PB2⊥QB2，∴·＝0，即－＝0，得m＝±2，直线PQ的方程为x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 解析 如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|.n由圆x2＋y2＝b2，可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a－2b.又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，化简得2a＝3b，即b＝a.∴c＝＝a，则e＝＝.∴＝＝≥×2＝，当且仅当a＝，即a＝时等号成立，∴的最小值为.15.如图所示，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，过点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M，N为椭圆上异于点A，B的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)由题意可知椭圆的半焦距c＝1，将x＝－c代入椭圆方程可得y＝±，所以＝3，又a2－b2＝1，两式联立解得a2＝4，b2＝3，n所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)易知A.因为直线AM，AN的倾斜角互补，所以直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数．可设直线AM的方程为y＝k(x＋1)＋，代入＋＝1，消去y得(3＋4k2)x2＋4k(3＋2k)x＋4k2＋12k－3＝0.设M(xM，yM)，N(xN，yN)，所以－1·xM＝，可得xM＝－，yM＝kxM＋k＋，又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，所以在上式中以－k代替k，可得xN＝－，yN＝－kxN－k＋，所以直线MN的斜率kMN＝＝＝－，即直线MN的斜率为定值，该定值为－.
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