2020版高中数学阶段训练四新人教b版选修 8页

阶段训练四(范围：§2.1～§2.5)一、选择题1．“双曲线的方程为x2－y2＝1”是“双曲线的渐近线方程为y＝±x”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　双曲线的离心率与渐近线题点　以离心率或渐近线为条件下的简单问题答案　A解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，而渐近线为y＝±x的双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，故选A.2．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2，a(a>2)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则a等于(　　)A.＋1B.＋2C．2＋2D．2－2考点　抛物线的标准方程题点　抛物线方程的应用答案　C解析　由题意知C(1，－2)，F(1＋a，a)，∴解得a＝2＋2(负值舍去)．故选C.3．已知抛物线y＝x2的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则m等于(　　)A.B.C.D.考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线与其他曲线结合有关问题n答案　A解析　y＝x2的焦点坐标为，由题意可得m＝2＋＝.4．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)A.B．4C．3D．5考点　双曲线的离心率与渐近线题点　以离心率或渐近线为条件下的简单问题答案　A解析　由题意得抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以b2＝9－4＝5，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，所以所求距离为d＝＝.5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于(　　)A．3B．6C．9D．12考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线与其他曲线结合有关问题答案　B解析　设椭圆E的方程为＋＝1，因为e＝＝，y2＝8x的焦点为(2,0)，所以c＝2，a＝4，b2＝a2－c2＝12，故椭圆E的方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点Pn在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　待定系数法求双曲线方程答案　C解析　由题意知，⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，所以所求双曲线的方程为－y2＝1，故选C.7．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.考点　椭圆的离心率题点　由a与c的关系式得离心率答案　B解析　如图，由题意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b.在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，所以a＝2c，故椭圆离心率e＝＝，故选B.8．已知点A(4,0)，抛物线C：x2＝12y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|∶|MN|等于(　　)nA．2∶3B．3∶4C．3∶5D．4∶5考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线性质的综合问题答案　C解析　抛物线焦点为F(0,3)，又A(4,0)，所以FA的方程为3x＋4y－12＝0，设M(xM，yM)，由可得xM＝3(负值舍去)，所以yM＝，所以＝，故选C.二、填空题9．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　解析　由题意得|AB|＝＝2×2a，得b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴离心率e＝.10．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线公共点个数的问题答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由消去x，得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．11．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7Fn|＝________.考点　椭圆的简单几何性质题点　椭圆几何性质的应用答案　35解析　设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.三、解答题12．已知曲线9x2＋y2＝81.(1)求其长轴长、焦点坐标、离心率；(2)求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程．考点　双曲线的标准方程的求法题点　待定系数法求双曲线的标准方程解　已知曲线为一个椭圆，该椭圆的标准方程为＋＝1，∴a＝9，b＝3，c＝6.(1)由题意易得，长轴长2a＝18，焦点坐标为(0，±6)，离心率e＝＝.(2)设所求双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，∵双曲线与椭圆共焦点且离心率为，∴解得∴所求双曲线方程为－＝1.13．(2018·南宁高二检测)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点(0,2)的直线与抛物线交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过坐标原点O，求△OAB的面积．考点　抛物线的简单几何性质n题点　抛物线性质的综合问题解　(1)依题意得1＋＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)依题意，若直线斜率不存在，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意．所以设直线方程为y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0，所以Δ＝(4k－4)2－4k2·4>0，即k<，x1＋x2＝，x1x2＝.因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以·＝0.因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝x1x2＋k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋k2·＋2k·＋4＝0，解得k＝－.因为|AB|＝＝8，点O到直线AB的距离为d＝，所以S△OAB＝|AB|·d＝16.14．已知F是双曲线C：x2－y2＝1的右焦点，P是C的左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为________．考点　双曲线的定义题点　双曲线定义的应用答案　6解析　由双曲线C：x2－y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，设双曲线C的左焦点为F′，则F(，0)，F′(－，0)，△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PF|＋2，由双曲线的定义可得|PF|－|PF′|＝2a＝2，n即有|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|＋2，当P在左支上运动到A，P，F′共线时，|PA|＋|PF′|取得最小值|AF′|＝＝2.所以△APF周长的最小值为2＋2＋2＝6.15．已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为，且C上任意一点P到F1的最短距离为2－.(1)求C的方程；(2)过点A(0,2)的直线l(不过原点)与C交于两点E，F，M为线段EF的中点．(i)证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；(ii)求△OEF面积的最大值及此时l的斜率．考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题(1)解　由题意得解得∴a2＝4，b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(ⅰ)证明　由题设知直线l的斜率存在，设直线l为y＝kx＋2，E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(xM，yM)，由题意得∴(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，由Δ＝16(4k2－3)>0，得k2>，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴xM＝－，yM＝kxM＋2＝.∴kOM＝＝－，∴k·kOM＝－，∴直线OM与l的斜率乘积为定值．(ⅱ)解　由(ⅰ)可知，|EF|＝|x1－x2|＝n＝4＝，又点O到直线l的距离d＝，∴△OEF的面积S△OEF＝·d·|EF|＝··＝，令＝t，则t>0，∴S△OEF＝＝≤＝1，当且仅当t＝2时等号成立，此时k＝±，且满足Δ>0，∴△OEF面积的最大值是1，此时直线l的斜率k＝±.