江苏省2019届高考数学二轮复习自主加餐的3大题型6个解答题综合仿真练（二） 7页

6个解答题综合仿真练(二)1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：(1)MN∥平面ABB1A1；(2)AN⊥A1B.证明：(1)如图，取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，所以PM∥BC，且PM＝BC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N.所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，又MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.因为∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1.因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1.又A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又NB1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面AB1N，因为AN⊂平面AB1N，所以AN⊥A1B.2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为2，a＋b＝6，求c.解：(1)∵由已知可得m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，∴sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，即sinA＝2sinAcosC，n∵sinA≠0，∴cosC＝，又∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)∵S△ABC＝absinC＝2，∴ab＝8，又c2＝a2＋b2－2abcosC，即(a＋b)2－3ab＝c2，∴c2＝12，故c＝2.3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c＝1，又e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－)－，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，整理得(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，又A(，0)，所以kAP＋kAQ＝＋＝，由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，故kAP＋kAQ＝n＝＝1，所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3km，OB＝3km，∠AOB＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且∠MON＝30°.(1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．解：(1)在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°.在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝.在△OMN中，由＝，得MN＝×＝.(2)法一：设AM＝x,0＜x＜3.在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝.由＝，得ON＝·＝.所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3.令6－x＝t，则x＝6－t,3＜t＜6，n则S△OMN＝＝≥·＝.当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为.所以M的位置为距离A点6－3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2.法二：设∠AOM＝θ，0＜θ＜，在△OAM中，由＝，得OM＝在△OAN中，由＝，得ON＝＝.所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝＝＝＝，0＜θ＜.当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，S△OMN的最小值为.所以应设计∠AOM＝15°，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2.5．已知数列{ai}共有m(m≥3)项，该数列前i项和为Si，记ri＝2Si－Sm(i≤m，i∈N*).n(1)当m＝10时，若数列{ai}的通项公式为ai＝2i＋1，求数列{ri}的通项公式；(2)若数列{ri}的通项公式为ri＝2i(i≤m，i∈N*)，①求数列{ai}的通项公式；②数列{ai}中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由．解：(1)因为Si＝·i＝i2＋2i,所以由题意得ri＝2Si－S10＝2i2＋4i－120(i≤10，i∈N*).(2)①因为ri＝2Si－Sm＝2i，ri＋1＝2Si＋1－Sm＝2i＋1，两式相减得ai＋1＝2i－1，所以数列{ai}从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即ai＝2i－2(2≤i≤m，i∈N*)．又2a1＝2＋Sm，即a1＝2＋(a2＋a3＋…＋am)＝2＋＝2m－1＋1.所以数列{ai}的通项公式为ai＝②数列{ai}中任意三项都不能构成等差数列，理由如下：因为数列{ai}从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为ap，aq，ar(2≤p2m－1，所以该情况下也无解．因此，数列{ai}中任意三项都不能构成等差数列．6．设函数f(x)＝2alnx＋(1－a)x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求b的值；(2)当a≤时，求函数f(x)的单调区间；(3)若存在x≥1使得f(x)<成立，求a的取值范围．n解：(1)f′(x)＝＋2(1－a)x－b，由题设知f′(1)＝2a＋2(1－a)－b＝0，解得b＝2.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝2alnx＋(1－a)x2－2x，f′(x)＝.由f′(x)＝0，解得x＝1或x＝.因为a≤，所以1－a>0，≤1.①当≤0，即a≤0时，x∈(0,1]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增．②当0<<1，即0，所以不符合题意．③若a＞1，因为存在x＝1，即f(1)＝－a－1<成立．所以a＞1适合题意．综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．