2019届高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系课后篇巩固探究（含解析）新人教a版 7页

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系课后篇巩固提升基础巩固1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面BB1C1C中,但AD1∥BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1∩AB=A.答案D2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　)A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析如图有两种情况.答案C3.下列命题中,正确的结论有(　　)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个解析①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故②正确;③中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故③正确;④中,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故④正确;故选C.答案C4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析画出图形,得到结论.n如图(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.答案D5.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是(　　)A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.答案A6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　; (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　　; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　. 解析(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.答案(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为　　　　　. n解析根据等角定理及两条直线所成角的定义知,a与OB所成的角为60°.答案60°8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于　　　　　. 解析取A1B1中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,∴EF与GH所成的角等于60°.答案60°9.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,求证:(1)EF?E1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1.证明(1)连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF?12BD,同理E1F1=12B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1?DD1,AA1?BB1,所以B1B?DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD?B1D1,所以EF?E1F1.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1?B1C1,B1C1?BC,所以MF1?BC,n所以四边形BCF1M是平行四边形,所以BM∥CF1,因为A1M?EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥F1C,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.10.在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解取BD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG?12CD,GF?12AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角,∴EF与AB所成角为75°或15°.能力提升1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是(　　)A.正方形B.菱形C.矩形D.空间四边形解析设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.答案B2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(　　)A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB与O1B1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.答案D3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)A.12对B.24对C.36对D.48对n解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,正方体ABCD-A1B1C1D1有12条棱,排除两棱的重复计算,异面直线共有12×2=24对.所以B选项是正确的.答案B4.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为　　　　　. 解析取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=12BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=12BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.答案90°5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:n①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为　　　　　. 解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案①③6.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,GF∥CD,且由AB=CD知EG=FG,∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为60°,∴∠EGF=60°或120°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=60°时,∠GEF=60°;当∠EGF=120°时,∠GEF=30°.故EF与AB所成的角为60°或30°.7.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则EFBC=AEAB=x.又BC=a,∴EF=ax.由EHAD=BEAB=1-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×32=32a2×(-x2+x)=32a2×-x-122+14.当nx=12时,Smax=38a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为38a2.