2019届高中数学第三章直线与方程测评（含解析）新人教a版 7页

第三章直线与方程测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-3y-1=0的倾斜角α的大小为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.30°B.60°C.120°D.150°解析直线x-3y-1=0的斜率为k=33,故tanα=33.∵0°≤α<180°,∴α=30°.答案A2.若直线l1:2x-ay-1=0过点(1,1),则直线l1与l2:x+2y=0的位置关系为(　　)A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.相交于点(2,-1)解析因为直线l1:2x-ay-1=0过点(1,1),所以2-a-1=0,解得a=1,所以直线l1的方程为2x-y-1=0,其斜率k1=2,因为l2:x+2y=0,其斜率k2=-12,所以k1·k2=2×-12=-1,所以l1与l2垂直,故选C.答案C3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是(　　)解析当a>0时,A,B,C,D均不成立;当a<0时,只有C成立,故选C.答案C4.过点P(1,2),且与原点距离最大的直线方程是(　　)A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0解析方法一:因为选项的四条直线都过P点,且原点到选项A、B、C、D所表示的直线的距离分别为dA=55=5,dB=45,dC=710,dD=510,所以dD1B.-11D.k<-1解析由y=kx+1,x-y-1=0,解得x=21-k,y=1+k1-k,∵两直线的交点在第一象限,∴21-k>0,1+k1-k>0,解得-10,b>0),则有12ab=6,且1a+3b=1.由12ab=6,1a+3b=1,解得a=2,b=6.故所求直线的方程为x2+y6=1,即3x+y-6=0.答案A10.过点(2,4)可作在x轴,y轴上的截距相等的直线条数为(　　)A.1B.2C.3D.4解析当在x轴,y轴上的截距相等且为0时,直线过原点,方程为y=2x;当截距不为0时,设直线方程为xa+ya=1,又直线过点(2,4),所以方程为x+y-6=0;所以有两条直线满足题意.故选B.答案B11.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是(　　)A.(4,-2)B.(4,-3)C.3,32D.(3,-1)解析由已知知以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=2x,则(-4,2)关于直线y=2x的对称点即为所求点.设所求点为(x0,y0),则y0-2x0+4=-12,y0+22=2·x0-42,解得x0=4,y0=-2.答案A12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个结论正确的个数是(　　)①AB∥CD;②AB⊥AD;③|AC|=|BD|;④AC⊥BD.A.1B.2C.3D.4解析①∵kAB=-4-26+4=-35,kCD=12-62-12=-35,∴AB∥CD;②∵kAB=-35,kAD=12-22+4=53,∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD;③∵|AC|=(12+4)2+(6-2)2=417,|BD|=(2-6)2+(12+4)2=417,∴|AC|=|BD|;④∵kAC=6-212+4=14,kBD=12+42-6=-4,∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD.综上知,①②③④均正确.故选D.答案Dn二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.直线y=5x+3绕其与y轴的交点旋转90°的直线方程是　　　　　　　　. 解析当x=0时,y=3,因为旋转后的直线的斜率k=-15,所以直线方程为y=-x5+3,即x+5y-15=0.答案x+5y-15=014.若倾斜角为45°的直线m被平行线l1:x+y-1=0与l2:x+y-3=0所截得的线段为AB,则AB的长为　　　　. 解析由题意可得,直线m与直线l1,l2垂直,则由两平行线间的距离公式得|AB|=|-1-(-3)|12+12=2.答案215.已知光线通过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线通过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是　　　　　　　　　　　. 解析∵光线通过点M(-3,4),设点M关于直线l:x-y+3=0的对称点K(x,y),∴y-4x+3=-1,x-32-y+42+3=0,解得x=1,y=0,即K(1,0).∵N(2,6),∴直线NK的斜率为6,∴反射光线所在直线的方程是6x-y-6=0.答案6x-y-6=016.在函数y=4x2的图象上求一点P,使P到直线y=4x-5的距离最短,则P点的坐标为　. 解析直线方程化为4x-y-5=0.设P(a,4a2),则点P到直线的距离为d=|4a-4a2-5|42+(-1)2=-4a-122-417=4a-122+417.当a=12时,点P12,1到直线的距离最短,最短距离为41717.答案12,1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标.(2)直线MN的方程.解(1)设C(x0,y0),则AC边的中点M的坐标为x0+52,y0-22,BC边的中点N的坐标为x0+72,y0+32,因为点M在y轴上,所以x0+52=0,解得x0=-5.又因为点N在x轴上,所以y0+32=0,n所以y0=-3.即点C的坐标为(-5,-3).(2)由(1)可得M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.18.(本小题满分12分)已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合?解当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,故l1∥l2.当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,故l1与l2相交.当m≠0,且m≠2时,由1m-2=m23m,得m=-1或m=3;由1m-2=62m,得m=3.故(1)当m≠-1,且m≠3,且m≠0时,l1与l2相交.(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2.(3)当m=3时,l1与l2重合.19.(本小题满分12分)已知直线l的方程为2x-y+1=0.(1)求过点A(3,2),且与l垂直的直线的方程;(2)求与l平行,且到点P(3,0)的距离为5的直线的方程.解(1)直线l的斜率为2,故所求直线的斜率为-12,因为所求直线过点A(3,2),故所求直线方程为y-2=-12(x-3),即x+2y-7=0.(2)依题意设所求直线方程为2x-y+c=0,点P(3,0)到该直线的距离为5,有|6+c|22+(-1)2=5,解得c=-1或c=-11,故所求直线方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0.20.(本小题满分12分)已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).(1)求该方程表示一条直线的条件;(2)当m为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3,求实数m的值;(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°,求实数m的值.解(1)当x,y的系数不同时为零时,方程表示一条直线,令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3;令2m2+m-1=0,解得m=-1或m=12.所以方程表示一条直线的条件是m∈R且m≠-1.n(2)由(1)易知,当m=12时,方程表示的直线的斜率不存在,此时的方程为x=43,它表示一条垂直于x轴的直线.(3)依题意,有2m-6m2-2m-3=-3,所以3m2-4m-15=0,所以m=3或m=-53,由(1)知所求m=-53.(4)因为直线l的倾斜角是45°,所以直线l的斜率为1,故由-m2-2m-32m2+m-1=1,所以3m2-m-4=0,解得m=43或m=-1(舍去).所以直线l的倾斜角为45°时,m=43.21.(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x-y=0,一条直角边所在的直线l的斜率为12,且经过点(4,-2),且此三角形的面积为10,求此等腰直角三角形的直角顶点的坐标.解设直角顶点为C,C到直线3x-y=0的距离为d.则12·d·2d=10,解得d=10.∵直线l的斜率为12,∴直线l的方程为y+2=12(x-4),即x-2y-8=0.设l'是与直线3x-y=0平行且距离为10的直线,则l'与l的交点就是点C.设l'的方程是3x-y+m=0,则|m|32+(-1)2=10,解得m=±10,∴l'的方程是3x-y±10=0,由方程组x-2y-8=0,3x-y-10=0及x-2y-8=0,3x-y+10=0,得点C坐标是125,-145或-285,-345.22.(本小题满分12分)为了绿化城市,拟在如图所示的矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,其中在△AEF区域内有一文物保护区不能被占用.经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?并求出草坪的最大面积.解建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),线段EF的方程为x30+y20=1(0≤x≤30).n在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,作PR⊥CD于点R,设矩形草坪PQCR的面积为Sm2,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又m30+n20=1(0≤m≤30),所以n=20-23m,于是S=(100-m)80-20+23m=-23(m-5)2+180503(0≤m≤30),所以当m=5时,Smax=180503,此时|EP|=30-55|PF|=5|PF|.故当矩形草坪的一组邻边分别在BC,CD上,其中一个顶点P在线段EF上,且满足|EP|=5|PF|时,面积最大,最大面积为180503m2.