2019届高中数学模块综合测评（a）（含解析）新人教a版必修2 10页

模块综合测评(A)(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,2,1)关于xOy平面对称的点的坐标为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(1,2,2)B.(-2,-2,1)C.(2,2,-1)D.(-2,-2,-1)解析关于xOy平面对称的点横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为它的相反数,从而有点A(2,2,1)关于xOy平面对称的点的坐标为(2,2,-1).答案C2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°解析异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1,而△BCB1为等腰直角三角形,所以∠BCB1=45°.答案B3.直线y=mx+(2m+1)恒过一定点,则此点是(　　)A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)解析直线y=mx+(2m+1)的方程可化为m(x+2)-y+1=0,当x=-2,y=1时,方程恒成立.所以直线mx-y+2m+1=0恒过定点(-2,1).故选C.答案C4.若球的半径扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的(　　)A.64倍B.16倍C.8倍D.4倍解析设球原来的半径为r,体积为V,则V=43πr3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.答案C5.直线l1:2x+3my-m+2=0和直线l2:mx+6y-4=0,若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为(　　)A.55B.105C.255D.2105n解析因为l1∥l2,所以3m×m=2×6,m≠-2,解得m=2,因此两条直线方程分别化为x+3y=0,x+3y-2=0,则l1与l2之间的距离=|-2-0|10=105,故选B.答案B6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(　　)A.7B.4C.9D.3解析设圆台较小底面的半径为r,则S圆台侧=π(r+3r)l=84π.∵l=7,∴r=3.答案D7.一个多面体的三视图如图所示,则多面体的体积是(　　)A.233B.476C.6D.7解析由题意知该多面体是正方体挖去两个角所成的图形,如图所示,所以该几何体的体积为V=2×2×2-2×13×12×1×1×1=233.故选A.答案A8.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=16的位置关系是(　　)A.相交B.相离C.内切D.外切解析设圆x2+y2=16的圆心为O,半径为r1,则点O的坐标为(0,0),r1=4.设圆x2+y2-8x+6y+16=0的圆心为C,半径为r2,则点C的坐标为(4,-3),r2=3.n∴|OC|=(4-0)2+(-3-0)2=5,∴|r1-r2|<|OC|0,半径r=2a.又圆C截x轴的弦长为23,∴a2+(3)2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.答案(x-2)2+(y-1)2=416.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:　　　　　. 解析①因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,又PA⊥BC,所以BC⊥平面PAH,所以AH⊥BC.同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.②若PA,PB,PC两两互相垂直,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC,由此推出AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.③若∠ABC=90°,H是AC的中点,可推出△PHA≌△PHB≌△PHC,则PA=PB=PC,正确.④若PA=PB=PC,由此推出AH=BH=CH,则H是△ABC的外心,正确.答案①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.(1)求证:AD⊥BC;n(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.(1)证明由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)解取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD2+AM2=13.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD2+AN2=13.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=12MNDM=1326.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)解连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=3.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD=AC2+AD2=4.在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=34.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.18.(本小题满分12分)已知圆M的半径为3,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+9=0与圆M相切,(1)求圆M的标准方程;(2)过点N(0,-3)的直线l与圆M交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),而且满足x12+x22=212x1x2,求直线l的方程.解(1)设圆心为M(a,0)(a>0),|3a+9|32+(-4)2=3,解得a=2或-8.因为a>0,所以a=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,与圆M交于A(0,5),B(0,-5).此时x1=x2=0,满足x12+x22=212x1x2,n所以x=0符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-3.由y=kx-3,(x-2)2+y2=9,消去y,得(x-2)2+(kx-3)2=9,整理,得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0,①所以x1+x2=4+6k1+k2,x1x2=41+k2.由已知x12+x22=212x1x2,得(x1+x2)2=252x1x2,即4+6k1+k22=252×41+k2,整理,得7k2-24k+17=0,解得k=1或177.把k值代入到方程①中的判别式Δ=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,判别式的值都为正数,所以k=1或177,所以直线l的方程为y=x-3或y=177x-3,即x-y-3=0或17x-7y-21=0.综上,直线l的方程为x-y-3=0或17x-7y-21=0或x=0.19.(本小题满分12分)已知圆O:x2+y2=9和点M(1,a)(a>0).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;(2)当a=-23时,试判断过点M,且倾斜角为60°的直线l与圆O的位置关系.若相交,求出相交弦AB长;若不相交,求出圆O上的点到直线l的最远距离.解(1)由题意,点M在圆上,即1+a2=9(a>0).所以a=22.此时kOM=22,设点M处切线为l1,其斜率为k,因为OM⊥l1,所以kOM·k=-1,解得k=-24.所以切线方程为y-22=-24(x-1),化简得x+22y-9=0.(2)当a=-23时,直线l:y+23=tan60°(x-1),即3x-y-33=0.因为d=|-33|(3)2+(-1)2=332<3,所以直线l与圆O相交.又|AB|22=R2-d2=9-274=94,所以|AB|=3.n20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.(1)证明:BC⊥平面AMN.(2)求三棱锥N-AMC的体积.(3)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,请说明理由.(1)证明∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC.又∠ABC=60°,∴AB=BC=AC.又M为BC的中点,∴BC⊥AM,而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN.(2)解∵S△AMC=12AM·CM=12×3×1=32,又PA⊥底面ABCD,PA=2,∴AN=1,∴三棱锥N-AMC的体积V=13S△AMC·AN=13×32×1=36.(3)解存在点E.取PD的中点E,连接NE,EC,AE.∵N,E分别为PA,PD的中点,∴NE?12AD.又在菱形ABCD中,CM?12AD,∴NE?MC,即四边形MCEN是平行四边形,∴NM∥EC.又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE,∴MN∥平面ACE,即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE,n此时PE=12PD=2.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-1)2+y2=25和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16.(1)若直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,求直线l1的方程;(2)若点P(2,-1)为圆C1的弦AB的中点,求直线AB的方程;(3)若直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为43,求直线l的方程.解(1)圆C1:(x-1)2+y2=25的圆心坐标(1,0),直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,所以直线l1的方程为y-0x-1=11-2,即x+y-1=0.(2)因为点P(2,-1)和圆心C1的连线的斜率为k=0+11-2=-1,所以直线AB的斜率为1,所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为43,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16的圆心坐标(4,5),半径为4,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-6),则弦心距为|4k-5-6k|1+k2=|2k+5|1+k2.由于圆C2的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理,故16=(23)2+|2k+5|1+k22,解得k=-2120,则直线l的方程为21x+20y-126=0.当直线l的斜率不存在时,方程为x=6,此时也满足题意.故直线l的方程为x=6或21x+20y-126=0.22.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.n(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BC∩BB1=B,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=AC2-BC2=3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13S△ABC·AA1=13×12×3×1×2=33.