2019届高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系测评（含解析）新人教a版 11页

第二章点、直线、平面之间的位置关系测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面内总有这样的直线,使得它与直尺所在的直线(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.平行B.垂直C.相交D.异面解析当直尺垂直于地面时,A错误;当直尺平行于地面时,C错误;当直尺位于地面上时,D错误.答案B2.平面α与平面β,γ都相交,则这3个平面的交线可能有(　　)A.1条或2条B.2条或3条C.只有2条D.1条或2条或3条解析当平面α过平面β与γ的交线时,这3个平面有1条交线;当β∥γ时,α与β和γ各有1条交线,共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,这3个平面有3条交线.答案D3.异面直线a,b分别在平面α,β内,若α∩β=l,则直线l必定(　　)A.分别与a,b相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b中一条相交D.至多与a,b中一条相交解析假设a∥l,b∥l,则a∥b,这与a,b异面矛盾.又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.答案C4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)A.ACB.BDC.A1DD.A1D1解析由BD⊥AC,BD⊥AA1,知BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,∴BD⊥CE.故选B.答案B5.如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是(　　)nA.PD⊥BDB.PD⊥CDC.PB⊥BCD.PA⊥BD解析∵PA⊥矩形ABCD,∴PA⊥BD,D正确;若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD.又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,A不正确;∵PA⊥矩形ABCD,∴PA⊥CD,AD⊥CD,∴CD⊥平面PAD,∴PD⊥CD,B正确;同理可证PB⊥BC,C正确.答案A6.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为(　　)A.30°B.60°C.90°D.120°解析如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.∵M为A'C的中点,∴MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM,∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.∵AC=1,MC=MA=22,∴∠CMA=90°,故选C.答案C7.已知三条相交于一点的线段PA,PB,PC两两垂直,且A,B,C在同一平面内,P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于H,则垂足H是△ABC的(　　)A.内心B.外心C.重心D.垂心解析连接AH并延长交BC于D,如图所示.由于PH⊥平面ABC,则BC⊥PH,又PA⊥PB,PA⊥PC,则PA⊥平面PBC,所以BC⊥PA.因为PH⊂平面PAD,PA∩PH=P,所以BC⊥平面PAD.又AH⊂平面PAD,所以AH⊥BC.同理可证BH⊥AC,CH⊥AB,所以垂足H是△ABC的垂心.答案D8.若m、n表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为(　　)①m∥nm⊥α⇒n⊥α;②m⊥αn⊥α⇒m∥n;n③m⊥αn∥α⇒m⊥n;④m∥αm⊥n⇒n⊥α.A.1B.2C.3D.4解析①②③正确,④中n与平面α可能有:n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α).答案C9.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为(　　)A.13B.151C.123D.15解析如图,连接AD.∵平面α⊥平面β,∴AC⊥平面β,DB⊥平面α.在Rt△ABD中,AD=AB2+BD2=42+122=160=410.在Rt△CAD中,CD=AC2+AD2=32+160=13.答案A10.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为(　　)A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC∥截面PQMND.异面直线PM与BD所成的角为45°解析因为截面PQMN是正方形,所以PQ∥MN,QM∥PN,又因为PQ⊄平面ACD,QM⊄平面BDA,所以PQ∥平面ACD,QM∥平面BDA,所以PQ∥AC,QM∥BD.由PQ⊥QM可得AC⊥BD,A正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,C正确;∵PN⊥PQ,∴AC⊥BD,又BD∥PN,∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45°,D正确;由上面可知:BD∥PN,PQ∥AC.∴PNBD=ANAD,MNAC=DNAD,而AN≠DN,PN=MN,∴BD≠AC.B错误.故选B.n答案B11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(　　)A.63B.255C.155D.105解析在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.C1E⊥B1D1C1E⊥BB1⇒C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=22+12=5,C1E=2×222=2,∴sin∠C1BE=C1EBC1=25=105.答案D12.如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(　　)解析如图,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB⊂平面SBD,所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD.n由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO,因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面EFG,所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=　　　　　. 解析如图所示,则直线AB,CD确定一个平面ACBD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴ASSB=CSSD,∴86=12SD,解得SD=9.答案914.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,当四边形A1B1C1D1满足条件　　　　　时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况). 解析由题意可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1.所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案B1D1⊥A1C1(或:A1B1C1D1是正方形,答案不唯一)15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为　　　　　. 解析设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin60°=32.答案32n16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点,则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为　　　　　　　. 解析取AD的中点F,连接EF,BF,则EF∥PA,由侧棱PA⊥底面ABCD,知EF⊥底面ABCD,则∠EBF为BE与平面ABCD所成角.答案21313三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2018·全国2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.n(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,∠ACB=45°.所以OM=253,CH=OC·MC·sin∠ACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.18.(本小题满分12分)如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;(2)求二面角D-AP-C的正弦值.(1)证明∵D是AB的中点,△PDB是正三角形,AB=20,∴PD=12AB=10,∴AP⊥PB.又AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AP⊥BC.又AC⊥BC,AP∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC.(2)解∵PA⊥PC,且PA⊥PB,∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC⊥平面PAC,则BC⊥PC,∴sin∠BPC=BCPB=25.19.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.n(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.20.(本小题满分12分)(2018·全国1,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解(1)由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QE⊥AC,垂足为E,则QE?13DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22sin45°=1.21.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.n(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.解(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC.∵E是BC的中点,∴A1H∥AE,∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角.∵底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC.∵侧棱AA'⊥底面ABC,∴侧棱B1B⊥A1H,∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H⊥HC.在Rt△A1HC中,cos∠CA1H=A1HA1C=225=1010.(2)由(1)知A1H⊥平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC,∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成的角,在Rt△A1HC中,tan∠A1CH=A1HHC=22322=13.22.(本小题满分12分)(2018·北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.n∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=12BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=12BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.n