2019届高中数学第一章空间几何体测评（含解析）新人教a版必修2 10页

第一章空间几何体测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是(　　)A.棱柱B.棱台C.圆柱D.球答案C2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是(　　)解析由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选D.答案D3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB的面积是(　　)A.6B.32C.62D.12解析△OAB是直角三角形,其两条直角边分别是4和6,则其面积是12.答案D4.若圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的12,则圆锥的体积(　　)A.缩小为原来的12B.扩大为原来的2倍C.不变nD.缩小为原来的16解析设原圆锥的高为h,半径为r,体积为V,则V=13πr2h;变化后圆锥的体积为V'=13π12r2·2h=16πr2h=12V.答案A5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)A.18B.24C.32D.36解析由三视图可知,几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥,如图,三棱柱的高为5,削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,所以几何体的体积为12×3×4×5-13×12×3×4×3=30-6=24.答案B6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的全面积为(　　)A.32πB.(5+32)πC.5+323πD.5+22π解析由题意被截去圆锥的高为1,母线长为2,圆台的母线长为2,∴圆台的全面积为π(12+22+1×2+2×2)=(5+32)π.故选B.答案B7.(2018·全国1,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(　　)nA.217B.25C.3D.2解析如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN=MC2+NC2=25.答案B8.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(　　)A.23B.1C.43D.83解析该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,体积V=13×12×2×2×2=43.答案C9.如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且AB=BC=1,则此几何体的体积是(　　)nA.12B.2C.22D.1解析由三视图可知该几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图.根据正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2,∴棱锥的高为1.又底面直角梯形的底边长分别为1,2,高为1,∴底面面积为1+22×1=32,∴几何体的体积V=13×32×1=12.故选A.答案A10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=13,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为(　　)A.30B.18C.15D.12解析VBB1C1CEF=VABC-A1B1C1-VF-A1B1C1-VE-ABC=S△ABC×6-13S△ABC·A1F-13S△ABC·AE=S△ABC·6-13(A1F+AE)=5S△ABC.∵AC=AB=13,BC=6,∴S△ABC=12×6×(13)2-32=6.n∴VBB1C1CEF=5×6=30.答案A11.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　)A.443πB.4849πC.814πD.16π解析如图,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF,又底面边长为4,∴AE=22,PE=6,∴侧棱长PA=PE2+AE2=62+(22)2=44=211.设球的半径为R,则PF=2R.由三角形相似得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=113,∴S=4πR2=4π1132=484π9,故选B.答案B12.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示,则该几何体的体积为(　　)A.13+23πB.13+23πC.13+26πnD.1+26π解析由三视图可知,四棱锥为底面边长为1的正方形,高为1.其体积V1=13×12×1=13.设球的半径为R,因为四棱锥的底面是半球底面的内接正方形,故2R=2,即R=22.所以半球的体积为V2=12×4π3R3=12×4π3×223=2π6.故该几何体的体积为V=V1+V2=13+2π6.故选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为　　　　cm2. 解析将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体是圆柱体,设正方形的边长为acm,则圆柱体的体积为V=πa2·a=27π,解得a=3cm,∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18π(cm2).答案18π14.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　. 解析因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍,即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍,所以V1∶V2=13S△ADE·hS△ABC·H=124=1∶24.答案1∶2415.直角坐标系xOy内有点P(-2,-1),Q(0,-2),将△POQ绕x轴旋转一周,则所得几何体的体积为　　　　. 解析将△POQ绕x轴旋转一周,得到一个下底面半径为2,上底面半径为1,高为2的圆台,挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥形成的组合体,所以得到的几何体的体积为13π×(1+4+2)×2-13π×1×2=4π.答案4πn16.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是　　　　　.(填序号) ①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;②四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是菱形;③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.解析①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形;②设正方体的边长为2,由AE=1,取D'D的中点G,则四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是四边形AGD'E,因为AE∥D'G,且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=5,故四边形AGD'E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.答案①③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图是一个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体;(2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积;(3)求出该几何体的体积.解(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的侧视图如图,其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离,即BC=3a,AD是正六棱锥的高,即AD=3a,所以该平面图形的面积为S=12·3a·3a=3a22.(3)设这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6×34a2=332a2,n所以V=13×332a2×3a=3a32.18.(本小题满分12分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又S半球面=12×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)(5-2)2+42=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=π3×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=12×4π3×23=16π3(cm3).所以所成几何体的体积为V圆台-V半球=52π-16π3=140π3(cm3).19.(本小题满分12分)如图所示的是一个边长为5+2的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.解设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则依题意有14·2πl=2πr,∴l=4r.∵AC=OC+OA=2r+r+l=(2+5)r,且AC=2×(2+5),∴(2+5)r=(2+5)×2,∴r=2.∴l=42,∴h=l2-r2=30.∴V圆锥=13πr2h=13π(2)2×30=230π3.故该圆锥的体积为230π3.n20.(本小题满分12分)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,连接A'C',A'D,A'B,BD,BC',C'D,得到一个三棱锥.求:(1)三棱锥A'-BC'D的表面积与正方体表面积的比值;(2)三棱锥A'-BC'D的体积.解(1)∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,∴六个面都是正方形.∴A'C'=A'B=A'D=BC'=BD=C'D=2a,∴S三棱锥=4×34×(2a)2=23a2,S正方体=6a2,∴S三棱锥S正方体=33.(2)显然,三棱锥A'-ABD,C'-BCD,D-A'D'C',B-A'B'C'是完全一样的,∴V三棱锥A'-BC'D=V正方体-4VA'-ABD=a3-4×13×a22×a=a33.21.(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,圆锥的底面半径为r,高为h,则V圆锥=13πr2h,球的半径为r,所以V球=43πr3.又h=2r,所以V圆锥∶V球∶V圆柱=13πr2h∶43πr3∶(πr2h)=23πr3∶43πr3∶(2πr3)=1∶2∶3.n22.(本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16m,则仓库的体积为V1=13S·h=13×π×1622×4=256π3(m3).若按方案二,仓库的高变成8m,则仓库的体积为V2=13S·h=13×π×1222×8=96π(m3).(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16m,半径为8m.圆锥的母线长为l1=82+42=45(m),则仓库的表面积为S1=π×8×45=325π(m2).若按方案二,仓库的高变成8m.圆锥的母线长为l2=62+82=10(m),则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).(3)∵V1