2019高中物理第十一章第4节单摆讲义（含解析）新人教版 16页

单摆一、单摆及单摆的回复力┄┄┄┄┄┄┄┄①1．单摆(1)组成：①细线，②小球。(2)理想化模型的要求①质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略；②线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略；③力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用。为了组成单摆，应尽量选择质量大、直径小的球和尽量细且不可伸长的线。2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。(3)单摆运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。[注意]回复力是按效果命名的力，是沿振动方向上的合力，不是物体受到的合力。①[选一选]关于单摆的摆球在运动中所受的力，下列说法正确的是(　　)A．摆球运动到平衡位置时，重力与摆线拉力的合力为零B．摆球在运动过程中受到三个力的作用：重力、摆线的拉力和回复力C．摆球在运动过程中，重力和摆线拉力的合力等于回复力D．摆球在运动过程中，重力沿圆弧方向上的分力等于回复力解析：选D　摆球所受外力为重力和摆线拉力，B错误；摆球的轨迹是圆弧，故重力、拉力的合力除提供回复力外，还提供向心力，C错误；摆球所受合外力在圆弧方向的分力(等于重力沿圆弧方向的分力)作为回复力，在圆弧法线方向上的分力作为摆球做圆周运动的向心力，D正确；除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在最低点平衡位置处，回复力为零，回复力产生的加速度为零，但有向心力，有向心加速度，故重力与摆线拉力的合力不为零，A错误。二、单摆的周期┄┄┄┄┄┄┄┄②1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关；②振幅较小时周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。n2．周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。(3)应用：①计时器(摆钟)原理：单摆的等时性；校准：调节摆长可调节钟表的快慢；②测重力加速度：由T＝2π得g＝，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。[说明]1．摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球的重心的距离，而不一定是摆线的长度。2．单摆的周期公式T＝2π是在单摆的最大摆角小于5°，单摆的振动是简谐运动的条件下才适用的。②[选一选]一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的一半，则单摆的(　　)A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅不变D．频率改变，振幅改变解析：选B　决定单摆周期的是摆长和当地的重力加速度，与质量无关，与单摆的运动速度也无关，当然频率也与质量和速度无关，C、D错误；当质量增为原来的4倍，速度减为原来的一半时，动能不变，势能不变，但质量变大了，摆动的竖直高度就一定变小了，也就是说，振幅变小了，B正确，A错误。n1.单摆的回复力如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F＝G1＝Gsinθ。2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时(一般情况下，摆角θ小于5°)，sinθ≈，又回复力F＝Gsinθ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。[典型例题]例1.下列有关单摆的运动的说法中正确的是(　　)A．单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧法线方向的一个分力B．单摆做简谐运动的平衡位置合力不为零C．单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的高度差D．两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期[解析]　单摆做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A错误；单摆做简谐运动的平衡位置回复力为零，但合力指向圆心，不为零，B正确；单摆做简谐运动的振幅等于摆动中最高点与最低点的距离，C错误；两次相邻的经过平衡位置的时间为单摆的一个周期的二分之一，D错误。[答案]　B[点评]　关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处。(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力。(3)在平衡位置处，速度不为零，向心力不为零，此时回复力为零，但摆球所受合力不为零。[即时巩固]n1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　)A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合力为零解析：选C　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿圆弧切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为F向＝m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，C正确。由公式T＝2π知，单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关。1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。(2)等效摆长：图a中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长。其周期T＝2π，图b中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。(2)等效重力加速度：单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速)，一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。n如图所示，此场景中的等效重力加速度g′＝gsinθ。球静止在O点时，FT＝mgsinθ，等效加速度g′＝＝gsinθ。[典型例题]例2.有一单摆，在地球表面为秒摆，已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6。(1)将该单摆置于月球表面，其周期多大？(2)若将摆长缩短为原来的1/2，在月球表面时此摆的周期多大？(3)该秒摆的摆长多少？(g＝9.8m/s2)[解析]　(1)由单摆周期公式可知T月＝2π①T地＝2π②因为秒摆的周期为2秒，则①式除以②式得，T月＝T地≈4.9s(2)摆长变为时，该单摆周期变为T′地＝T地＝s则月球表面周期T′月＝T′地＝×s≈3.5s(3)由T地＝2π知l＝2·g地＝2·9.8m≈0.99m[答案]　(1)4.9s　(2)3.5s　(3)0.99m[点评](1)在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化。如果发生变化，则应求出与变化的l和g相对应的运动时间。n(2)改变单摆振动周期的途径①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。(3)明确小角度情况下，单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。[即时巩固]2．一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。解析：设释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。小球在左边的周期为T1＝2π小球在右边的周期为T2＝2π则整个单摆的周期为T＝＋＝π＋π＝1.9π答案：1.9π1.实验原理由公式T＝2π，可知g＝，因此测出摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度值。2．实验器材带孔小钢球一个、细线一条(约1m长)、铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺等。3．实验步骤(1)制做单摆①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；n②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则l＝l′＋，即为单摆的摆长。(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。设计如下所示实验表格(2)图象法：由T＝2π得T2＝l，作出T2l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g。[典型例题]例3.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________s。n为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_______________________________________。(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2。(结果取两位有效数字)[解析]　由T＝2π可知g＝。由图可知，摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m。秒表的读数t＝60s＋15.2s＝75.2s，所以T＝＝1.88s。(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°。(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝。由g≈＝，可得g≈9.8m/s2(9.9m/s2也正确)。[答案]　　0.8750　75.2　1.88　(1)摆角小于5°(2)关系图线略　9.8(或9.9)[点评]　用单摆测定重力加速度的5个注意(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选密度较大，直径较小的。(2)线应夹在铁夹的下面，防止因摆动而改变摆线的长度。(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。n(4)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，在摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期。[即时巩固]3．根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm。(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期Te．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝解析：(1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18mm＋6×0.1mm＝18.6mm。(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，a、b正确，c错误；为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后取平均值计算出一次全振动所用的时间，d错误，e正确。答案：(1)18.6　(2)aben1．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法中正确的是(　　)A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选D　由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确。2.如图所示，光滑圆弧形轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是(　　)A．C点　　　　　　　　B．C点右侧C．C点左侧D．不能确定解析：选A　由于运动轨道的半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆，因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确。3．用单摆测定重力加速度，根据的原理是(　　)A．由g＝看出，T一定时，g与l成正比B．由g＝看出，l一定时，g与T2成反比C．由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g＝可算出当地的重力加速度D．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比解析：选C　同一地区的重力加速度g为定值，由单摆测重力加速度的实验原理知，C正确。4．[多选]如图所示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图象，其中实线表示A的运动图象，虚线表示B的运动图象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是(　　)nA．这两个单摆的摆球质量一定相等B．这两个单摆的摆长一定不同C．这两个单摆的最大摆角一定相同D．这两个单摆的振幅一定相同解析：选BD　从题中图象可知：两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，B、D正确，C错误；单摆的周期与摆球质量无关，A错误。5．将一水平木板从一沙摆(可视为简谐运动的单摆)下面以a＝0.2m/s2的加速度匀加速地水平抽出，板上留下的沙迹如图所示，量得＝4cm，＝9cm，＝14cm，试求沙摆的振动周期和摆长。(g＝10m/s2)解析：根据单摆振动的等时性得到、、三段位移所用的时间相同。由匀变速直线运动规律Δx＝aT得T1＝＝s＝0.5s振动周期T＝2T1＝1s由单摆公式T＝2π得l＝≈0.25m答案：1s　0.25m[基础练]一、选择题1．[多选]单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)A．摆线质量不计B．摆线长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．单摆的运动就是一种简谐运动解析：选ABC　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确；但把单摆摆动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ＜5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动，D错误。2．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是(　　)nA．增大摆球的质量　　　　B．缩短摆长C．减小摆动的角度D．升高气温解析：选B　由单摆的周期公式T＝2π，可知周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关。当l增大时，周期增大，频率减小；g增大时，周期减小，频率增大，B正确。3．(2016·衡阳高二检测)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B　摆球在运动过程中受重力、摆线张力作用，A错误；摆球的回复力最大时，向心力为零，摆线中的张力等于摆球重力沿摆线方向的分力，回复力为零时，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线方向，B正确，C、D错误。4．利用单摆测重力加速度的实验中，若测得g偏小，可能是由于(　　)A．计算摆长时，只考虑悬线长而未加小球半径B．测量周期时，将n次全振动，误记成n＋1次全振动C．计算摆长时，用悬线长加小球直径D．单摆振动时，振幅较小解析：选A　由公式g＝l可知，若测得g偏小，可能是由于测得的l偏小，A正确，C错误；也可能是测得的T偏大，选项B只能使测得的T偏小，B错误；单摆振动周期与振幅无关，D错误。5．[多选]惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重力势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是(　　)A．当摆钟不准时需要调整圆盘位置B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D．把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移n解析：选AC　调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的作用；若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长即下移圆盘；由冬季变为夏季，摆杆变长，应上移圆盘；从广州到北京，g值变大，周期变小，应增大摆长。综上所述，A、C正确。二、非选择题6.如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下(O≪R)。解析：小球由A点开始沿球壳内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为O≪R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等。设小球由A点由静止释放运动到O点的时间为t＝(2n－1)　(n＝1,2,3，…)，T＝2π由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝　(n＝1,2,3，…)答案：　(n＝1,2,3，…)[提能练]一、选择题1．如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的M处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)A．A球先到达C点B．B球先到达C点C．两球同时到达C点nD．无法确定哪一个球先到达C点解析：选A　B球运动到C点用时tB＝T＝，A球自由下落用时tA＝，tA