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  • 2022-04-12 发布

2020版高中数学第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定学案北师大版

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3.3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法.知识点一 全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例就可以了.实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的.全称命题的否定是特称命题.一般地,全称命题“所有的x∈A,使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A,使p(x)不成立”.知识点二 特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性质.实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的.特称命题的否定是全称命题.一般地,特称命题“存在x∈A,使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A,使p(x)不成立”.1.若命题p是含一个量词的命题,则p与其否定真假性相反.( √ )2.从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )3.从全称命题的否定看,既要把全称量词转换为存在量词,又要把p(x)否定.( √ )题型一 全称命题的否定例1 写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)任意n∈Z,则n∈Q;(2)等圆的面积相等,周长相等;(3)偶数的平方是正数.考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在n∈Z,使n∉Q,这是假命题.(2)存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题.(3)存在偶数的平方不是正数,这是真命题.n反思感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.2.有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:(1)所有能被3整除的整数都是奇数;(2)每一个四边形的四个顶点共圆;(3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.(3)存在x∈Z,x2的个位数字等于3.题型二 特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定:(1)存在x∈R,x2+2x+2≤0;(2)有的三角形是等边三角形;(3)有一个素数含三个正因数.考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)任意x∈R,x2+2x+2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形.(3)每一个素数都不含三个正因数.反思感悟 与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定.跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其真假:(1)有些实数的绝对值是正数;(2)某些平行四边形是菱形;(3)存在x,y∈Z,使得x+y=3.考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.n由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题.(2)命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定:“任意x,y∈Z,x+y≠3”.∵当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题.题型三 全称命题、特称命题否定的应用例3 已知命题p(x):sinx+cosx>m,q(x):x2+mx+1>0.如果对于任意x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围.考点 全称命题与特称命题的否定题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 ∵sinx+cosx=sin>m,若p(x)为真命题,则m<-.∵p(x)为假命题,∴m≥-,①由q(x)为真命题,得Δ=m2-4<0,即-20.求实数p的取值范围.考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围n解 在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0的否定是在区间[-1,1]上的所有实数x,都有f(x)≤0恒成立.又由二次函数的图像特征可知, 即即∴p≥或p≤-3.故p的取值范围是-3m”为假命题,则实数m的取值范围是________.考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 解析 由题意知,对任意的x∈,sinxcosx≤m为真命题;又∵sinxcosx=sin2x∈,∴m≥.4.写出下列命题的否定并判断其真假.(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根;(2)有些三角形的三条边相等;(3)余弦值为负数的角是钝角.考点 含有量词的命题的否定的应用题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m,方程x2+mx-1=0必有实数根.其否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根,因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,故为假命题.(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”,假命题.(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”,真命题.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型,是全称命题还是特称命题.(2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰当的全称量词.n(3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”,则该命题的否定是(  )A.对任意x∈A,2x∉BB.对任意x∉A,2x∉BC.存在x∉A,2x∈BD.存在x∈A,2x∉B考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 D2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(  )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 D解析 原命题为全称命题,其否定应为特称命题,且结论否定.3.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(  )A.存在x∈R,x3-x2+1≤0B.存在x∈R,x3-x2+1≥0C.存在x∈R,x3-x2+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 C解析 由题意知,原命题为全称命题,故其否定为特称命题,所以否定为“存在x∈R,x3-x2+1>0”.故选C.4.已知命题p:任意x>0,总有(x+1)ex>1,则命题p的否定为(  )nA.存在x≤0,使得(x+1)ex≤1B.存在x>0,使得(x+1)ex≤1C.任意x>0,总有(x+1)ex≤1D.任意x≤0,总有(x+1)ex≤1考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 B解析 “任意x>0,总有(x+1)ex>1”的否定是“存在x>0,使得(x+1)ex≤1”.故选B.5.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则命题p的否定为(  )A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根考点 特称命题的否定题点 含存在量词命题的否定答案 C解析 命题p是特称命题,其否定形式为全称命题,即为对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根.6.已知命题p:存在x∈R,x2+ax+a<0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(  )A.[0,4]B.(0,4)C.(-∞,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)考点 全称命题与特称命题的否定的应用题点 由全称命题与特称命题的真假求参数范围答案 A解析 ∵p是假命题,∴任意x∈R,x2+ax+a≥0恒成立,∴Δ=a2-4a≤0,∴0≤a≤4.7.下列命题中是假命题的是(  )A.存在m∈R,使f(x)=(m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上是减少的B.任意a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点C.存在α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+sinβD.任意φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断n答案 D解析 ∵f(x)为幂函数,∴m-1=1,∴m=2,f(x)=x-1,∴f(x)在(0,+∞)上是减少的,故A真;∵y=ln2x+lnx的值域为,∴对任意a>0,方程ln2x+lnx-a=0有解,即f(x)有零点,故B真;当α=,β=2π时,cos(α+β)=cosα+sinβ成立,故C真;当φ=时,f(x)=sin(2x+φ)=cos2x为偶函数,故D为假命题.8.已知函数f(x)=|2x-1|,若命题“存在x1,x2∈[a,b]且x1f(x2)”为真命题,则下列结论一定正确的是(  )A.a≥0B.a<0C.b≤0D.b>1答案 B解析 函数f(x)=|2x-1|的图像如图所示.由图可知f(x)在(-∞,0]上是减少的,在(0,+∞)上是增加的,所以要满足存在x1,x2∈[a,b]且x1f(x2)为真命题,则必有a<0,故选B.9.已知二次函数f(x)=2x2-(a+6)x-2a2-a,若在区间[0,1]内至少存在一个实数b,使f(x)>0,则实数a的取值范围是(  )A.B.C.D.考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 A解析 考虑原命题的否定,即在区间[0,1]内的所有的实数b,使f(b)≤0,所以有即n解得a≤-或a≥0,故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b,使f(b)>0,则实数a的取值范围为.二、填空题10.命题“存在x∈{x|x是正实数},使0,x+≥1”的否定为________________________.考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的否定答案 存在x>0,x+<112.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是________.考点 全称命题与特称命题的否定的应用题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围答案 [3,8)解析 因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3.又因为p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8,故实数m的取值范围是[3,8).三、解答题13.判断下列命题的真假,并写出它们的否定:(1)任意α,β∈R,sin(α+β)≠sinα+sinβ;(2)存在x,y∈Z,3x-4y=20;(3)在实数范围内,有些一元二次方程无解.考点 含有一个量词的命题题点 含一个量词的命题真假判断解 (1)当α=β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ,故命题为假命题.命题的否定为:存在α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ.n(2)真命题.命题的否定为:任意x,y∈Z,3x-4y≠20.(3)真命题.命题的否定为:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.14.已知命题“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.考点 全称命题题点 由命题的真假求参数的范围解 因为全称命题“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“存在x0∈R,x+ax0+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象(图略)易知,Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).15.已知f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立?解 假设存在常数a,b,c,使题设命题成立.因为f(x)的图像过点(-1,0),所以a-b+c=0.因为x≤f(x)≤对一切x∈R均成立,所以当x=1时,也成立,即1≤a+b+c≤1,故有a+b+c=1.所以b=,c=-a.所以f(x)=ax2+x+-a.故应x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立,即恒成立⇔即所以a=,所以c=-a=.所以存在一组常数:a=,b=,c=,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.

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