2020版高中数学第三章变化率与导数阶段训练四北师大版 6页

阶段训练四(范围：§1～§4)一、选择题1．某物体的运动方程为s＝3＋t2，则在t∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为(　　)A．4.11B．4.01C．4.0D．4.1考点　题点　答案　D解析　根据题意可得平均速度＝＝＝4.1.2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)A．2B．2＋ΔxC．2＋(Δx)2D．2x考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率答案　B解析　＝＝2＋Δx.3．已知f(x)＝，则f′(x)等于(　　)A.B.－1C．1－lnxD.考点　导数的运算法则题点　导数除法法则及运算答案　D解析　f′(x)＝＝＝，故选D.4．已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设＝a，则下列不等式n正确的是(　　)A．f′(1)0)，∵f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝ae2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)n＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1.13．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解　(1)由题意知f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为13x－y－32＝0.(2)方法一　设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法二　根据题意可设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，由题意知k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解得x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．14．若函数f(x)＝2sinx(x∈[0，π])的图像在点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　)A.B．2C.D.答案　A解析　f′(x)＝2cosx∈[－2,2]，g′(x)＝＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．当两函数的切线平行时，xp＝0，xQ＝1.即P(0,0)，Q，∴直线PQ的斜率为.n15．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝g(x)＝x2＋a都相切，求a的值．考点　导数的应用题点　导数的应用解　易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．(1)当O(0,0)是切点时，由f′(x)＝3x2－6x＋2，得f′(0)＝2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，依题意知，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则f(x0)＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①又k＝＝x－3x0＋2，②联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，故直线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0，依题意知，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.