2020版高中数学第四章导数应用1.2函数的极值学案北师大版 16页

1．2　函数的极值学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　函数的极值点与极值的概念1.如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．3．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．知识点二　函数极值的判定1．单调性判别：(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．2．图表判别：(1)极大值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)增加↗极大值减少↘n(2)极小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)－0＋y＝f(x)减少↘极小值增加↗知识点三　求函数y＝f(x)的极值的步骤1．求出导数f′(x)．2．解方程f′(x)＝0.3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)2．在可导函数的极值点处，切线与x轴平行．(　×　)3．函数f(x)＝无极值．(　√　)4．定义在[a，b]上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0∈(a，b)．(　√　)5．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．(　√　)题型一　求函数的极值例1　求下列函数的极值．(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝x2－2lnx.考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：nx(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21↘极小值－6↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6.(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，解方程＝0，得x1＝1，x2＝－1(舍去)．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值1↗因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图像也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②n由①②可得a＝b＝4.(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4ex－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，－ln2)－ln2(－ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的，在(－2，－ln2)上是减少的．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．题型二　已知函数极值(或极值点)求参数例2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解　(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴解方程组得a＝－，b＝－，经验证，当a＝－，b＝－时，x＝1与x＝2是函数f(x)的两个极值点．∴f(x)＝－lnx－x2＋x.(2)x＝1，x＝2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点．理由如下：f′(x)＝－x－1－x＋1n＝－－x＋1＝－＝－.又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值，故x＝1为极小值点，x＝2为极大值点．反思感悟　已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式时，注意两点(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　(1)2　9　(2)(－∞，1)解析　(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，∴即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)是增加的；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)是减少的；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增加的．故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.题型三　函数极值的综合应用例3　已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根n解　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－11时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图像如图所示．因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(－3,1)．引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解　由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图像有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图像只有一个交点．反思感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－nm的图像与x轴有三个不同的交点．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗－m↘－16－m↗则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.∴由y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，得解得－160)的图像有两个不同的交点，则a>0.设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则切线斜率kl＝，当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，则kl＝1，令2a＝1，得a＝，n结合图像知0B．a≥C．a<且a≠0D．a≤且a≠0考点　函数极值的应用题点　极值存在性问题答案　C解析　f′(x)＝3ax2－2x＋1，令f′(x)＝0，即3ax2－2x＋1＝0有两个不等实根，n则得a<且a≠0.3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)A．－4B．－2C．4D．2考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值(点)答案　D解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)是增加的；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)是减少的，∴f(x)的极小值点为a＝2.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．答案　9解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.5．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　－2解析　因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意知即解得则a＋b＝－2.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．n3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．一、选择题1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点　函数的极值与导数的关系题点　判定函数的极值点答案　B解析　对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2.如图为y＝f(x)的导函数的图像，则下列判断正确的是(　　)①f(x)在(－3,1)上为增加的；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减少的，在(－1,2)上为增加的；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④考点　函数极值的应用题点　函数极值在图像上的应用答案　B解析　当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－3，－1)上为减少的，在(－1,2)上为增加的，∴①不对；x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减少的；nx＝2是f(x)的极大值点．故②③正确．3．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为(　　)A．0,1，－1B．－C.D.，－考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题答案　C解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当00，解得x>3或x<2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．5．若函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的递减区间为(　　)A．(－1,1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　A解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，令f′(x)>0，得x>或x<－；令f′(x)<0，得－0)的极大值为6，极小值为2，∴f()＝2，f(－)＝6，即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6，得a＝1，b＝4，则f′(x)＝3x2－3，由f′(x)<0，得－10，即f′(x)<0；当－33时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，极小值是f(－3)．7．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值考点　函数的极值与导数的关系题点　判别极值点与极值答案　C解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，nx在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　)A．a＜－1B．a＞－1C．a＜－D．a＞－考点　函数极值的应用题点　极值存在性问题答案　A解析　因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.二、填空题9．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值答案　y＝－解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1，∴y＝－，∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图像上的应用答案　2解析　由图像可知，当x<0时，f′(x)<0，当00，故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2.n11．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根答案　(－2,2)解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，所以当－20，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则an的取值范围是________．答案　解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数是增加的，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解得a>.∴a的取值范围是.15．已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增加的，所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，所以f(x)的极小值为1，无极大值．(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x>0)，所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，令k′(x)<0，得0