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- 2022-04-12 发布
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章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )A．1B．2C．4D．8答案 C解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )A．k＞3B．2＜k＜3C．k＝2D．0＜k＜2考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 C解析 由9－k2＝k＋3，即k2＋k－6＝0，解得k＝2或－3.又由题意知k2<9且k>0，所以00)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案 D解析 ∵y2＝8x焦点是(2,0)，∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，所以a＝＝，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.6．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 A解析 ∵2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，则a＝＝，∴＝.故双曲线的渐近线方程为y＝±x.7．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )A.或B.或2nC.或2D.或考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题答案 A解析 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k(k>0)．若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝＝＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝＝＝.8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A.B．2C．4D．8考点 双曲线与抛物线的综合应用题点 双曲线与抛物线的综合应用答案 C解析 设双曲线的方程为－＝1(a>0)，抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，故可得A(－4,2)，B(－4，－2)，将点A的坐标代入双曲线方程，得a2＝4，故a＝2，故实轴长为4.9．已知椭圆＋＝1(00)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．11.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A.B.C.D.考点 椭圆的性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 C解析 ∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，∵P为直线x＝上一点，∴＝cos60°，∴e＝＝，故选C.n12.如图，直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|等于( )A．13B．14C．15D．16考点 抛物线的焦点弦问题题点 焦点弦长与中点坐标答案 B解析 由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，∵抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，且直线y＝x－2过(2,0)点，∴|AB|＋|CD|＝|AD|－2，联立直线y＝x－2与y2＝8x，可得x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝12，则有|AD|＝x1＋x2＋4＝16，故|AB|＋|CD|＝16－2＝14，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为________．考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 y＝±x解析 双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c.右焦点到渐近线y＝±x的距离为d＝＝b，所以有a＋c＝2b，又由a2＋b2＝c2，解得3b＝4a，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.n14．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________________．考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 ＋＝1解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±，0)由题意得∴a2＝4，b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.15．直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB中点，则椭圆的离心率为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题答案 解析 由消去x，得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，∵线段AB的中点为(－1,1)，∴＝2，得a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝＝.16．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 最值问题答案 32解析 若k不存在，则y＋y＝32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0.n由题意设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)．由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2＋32＞32.∴y＋y的最小值为32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程．考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用解 ①若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.设双曲线方程为－＝1，m＝a－4.∵＝，∴可得a＝7，m＝3.∴b2＝36，n2＝4.∴椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝1.②若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝1.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.解 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，n∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.19．(12分)已知双曲线C1：x2－＝1.(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：y＝x＋m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线位置关系的综合应用解 (1)∵双曲线C1：x2－＝1，∴焦点坐标为(，0)，(－，0)．设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，∴解得∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.(2)双曲线C1的两条渐近线方程为y＝2x，y＝－2x.由可得x＝m，y＝2m，∴A(m,2m)．由可得x＝－m，y＝m，∴B.∴·＝－m2＋m2＝m2.∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．n考点 椭圆的简单性质题点 求椭圆的标准方程解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，所以·＝－1，即·＝－1，解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.解得a2＝45或a2＝5.又因为a>c，所以a2＝5舍去．故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②，得2|PF1|·|PF2|＝80，所以＝|PF1|·|PF2|＝20.21．(12分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4，0)．(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)解 由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝，解得k＝±，所以直线l的斜率为±.(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，n则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，联立方程消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝，因为N为AB的中点，所以＝y0，即＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长半轴长和短轴长相等，且过(0,1)点，圆C1：x2＋y2＝5.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m：y＝kx＋n(k≠0)与椭圆C有且只有一个公共点Q；且m与圆C1相交于A，B两点，问Q能成为线段AB的中点吗？请说明理由．考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 (1)∵椭圆C：＋＝1过点(0,1)，∴b＝1，又∵a＝2b，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)∵直线m与椭圆C只有一个公共点Q，∴方程组有且只有一组解，即(1＋4k2)x2＋8knx＋4n2－4＝0，从而Δ＝64k2n2－4(1＋4k2)(4n2－4)＝0，化简得n2＝1＋4k2，设Q(xQ，yQ)，则xQ＝－＝－＝－，yQ＝kxQ＋n＝，∴点Q的坐标为，n由于k≠0，n≠0，∴kOQ×k＝－×k＝－≠－1，∴OQ与AB不垂直，∴点Q不是线段AB的中点．
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