2020版高中数学第三章变化率与导数章末复习学案北师大版 7页

第三章变化率与导数章末复习学习目标　1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝＝.(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．3．导数公式表原函数导函数f(x)＝c(c是常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝tanxf′(x)＝f(x)＝cotxf′(x)＝－n4．导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数′＝1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)2．若y＝，则y′＝×3＝.(　×　)3．因为(lnx)′＝，则′＝lnx．(　×　)题型一　导数几何意义的应用例1　求过曲线y＝sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．解　∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点P处的切线斜率k＝cos＝，∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－，即2x＋y－－＝0.反思感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，n由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．考点　切线方程求解及应用题点　求曲线的切线方程解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，∴f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1.∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.题型二　导数的计算例2　求下列函数的导数：(1)y＝x2－lnx＋ax＋π；(2)y＝3＋4；(3)y＝.考点　导数的运算法则题点　导数运算法则的应用解　(1)y′＝(x2－lnx＋ax＋π)′＝(x2)′－(lnx)′＋(ax)′＋π′＝2x－＋axlna.(2)y′＝(3＋4)′＝(3)′＋(4)′n＝＋＝＋＝4＋6.(3)y′＝′＝＝＝－.反思感悟　有关导数的计算应注意以下两点(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．(2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝.考点　导数的运算法则题点　导数运算法则的应用解　(1)∵y＝－x＋5－，∴y′＝－x′＋5′－＝－1＋＝－1.(2)∵y＝n＝＝cosx－sinx，∴y′＝(cosx－sinx)′＝(cosx)′－(sinx)′＝－sinx－cosx.题型三　导数的综合应用例3　设函数f(x)＝a2x2(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为，求a的值．考点　导数的综合应用题点　导数的综合应用解　因为f(x)＝a2x2，所以f′(x)＝2a2x，令f′(x)＝2a2x＝1，得x＝，此时y＝，则点到直线x－y－3＝0的距离为，即＝，解得a＝或.反思感悟　利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．考点　导数的综合应用题点　导数的综合应用解　设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点Pn是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝.∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)．1．下列说法正确的是(　　)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案　C解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知函数f(x)＝x22x，则f′(2)等于(　　)A．16＋ln2B．16＋8ln2C．8＋16ln2D．16＋16ln2考点　导数的乘法与除法法则题点　利用导数的乘除法则求导答案　D解析　∵f′(x)＝2x·2x＋x2·2xln2，∴f′(2)＝16＋16ln2.3．设函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝4，∴3a－6＝4，∴a＝.4．若直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝.考点　基本初等函数的导数公式题点　与切线有关的问题n答案　ln2－1解析　设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴＝，∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝×2＋b，∴b＝ln2－1.5．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，求点A的纵坐标．考点　导数的综合应用题点　导数的综合应用解　由于P，Q为抛物线x2＝2y上的点，且横坐标分别为4，－2，则P(4,8)，Q(－2,2)，从而在点P处的切线斜率k＝f′(4)＝4.由点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)；上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为－4.1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用．2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．