2020版高中数学第三章概率3.1.3频率与概率学案（含解析）新人教b版 9页

3.1.3　频率与概率学习目标　1.在具体情景中，了解随机事件发生的频率的稳定性与概率的意义.2.了解频率与概率的区别与联系．知识点　频率与概率思考　同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？答案　概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的．梳理　(1)定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率．(2)记法：P(A)．(3)范围：0≤P(A)≤1.(4)频率与概率的关系：概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似．概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　√　)2．小概率事件就是不可能发生的事件．(　×　)3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．(　×　)题型一　概率的定义例1　解释下列概率的含义：(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.解　(1)说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，100件该厂的产品中大约有90件是合格品．n(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．反思与感悟　概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．跟踪训练1　任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道(　　)A．取定一个标准班，A发生的可能性是97%B．取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97C．任意取定10000个标准班，其中大约9700个班A发生D．随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动答案　D解析　对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对，请注意，本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”．题型二　概率与频率的关系及求法例2　下面是某批乒乓球质量检查结果表：抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率；(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？解　(1)如下表所示：抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.引申探究本例中若抽取乒乓球的数量为1700只，则优等品的数量大约为多少？解　由优等品的概率为0.95，则抽取1700只乒乓球时，优等品数量为1700×0.95＝1615.反思与感悟　如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．n跟踪训练2　某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)A．概率为B．频率为C．频率为8D．概率接近于8答案　B解析　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．1．抛掷一枚质地均匀的硬币1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　抛掷一枚质地均匀的硬币1000次，每一次出现正面朝上的概率均为.2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为(　　)A．1B.C.D．0答案　B解析　治愈率为，表明每位病人被治愈的概率均为，并不是5人中必有1人被治愈．故选B.3．下列说法正确的是__________．(填序号)①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；③百分率是频率，不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．答案　①④⑤n解析　由频率与概率的意义知，①正确；由频率与概率之间的关系知，②不正确；④，⑤正确；③不正确，百分率通常是指概率．4．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492　496　494　495　498　497　501　502　504　496497　503　506　508　507　492　496　500　501　499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为________．答案　0.25解析　袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25.5．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？解　两枚硬币的点数和可列下表：一枚另一枚　　　1点2点1点232点34很明显，试验的结果共有4种，而点数3占了两种，点数2和4各占一种，因此，每个班被选中的概率是不同的，这种选法是不公平的．1．概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的规律性，才是概率意义下的“可能性”，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性．2．概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率．一、选择题1．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计如下：卡片号码12345678910n取到的次数138576131810119则取到的号码为奇数的频率是(　　)A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37答案　A解析　＝0.53.2．下列结论正确的是(　　)A．设事件A的概率为P(A)，则必有0＜P(A)＜1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖答案　C解析　A项不正确，因为0≤P(A)≤1；若事件A是必然事件，则P(A)＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确．故选C.3．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题意得，4500－200－1000＝3300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.4．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大(　　)nA．至少一枚硬币正面向上B．只有一枚硬币正面向上C．两枚硬币都是正面向上D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上答案　A解析　抛掷两枚梗币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况．至少有一枚硬币正面向上或至少有一枚硬币反面向上，均包括三种情况，其概率最大．5．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都选择第一个选项，则一定有3个题选择结果正确”这句话(　　)A．正确B．错误C．不一定D．无法解释答案　B解析　解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的．即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确．6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(　　)A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜答案　B解析　对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数之和等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．7．从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是(　　)A．次品率小于10%B．次品率大于10%C．次品率等于10%D．次品率接近10%答案　Dn解析　抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.二、填空题8．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释：①明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨；②明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨；③明天本地降雨的机率是80%.其中正确的是________．(填序号)答案　③解析　①②显然不正确，因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨或80%的时间降雨．9．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________．答案　3∶1解析　将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.10．利用简单随机抽样的方法抽取某校200名学生，其中戴眼镜的学生有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率约是________．答案　0.615解析　样本中的学生戴眼镜的频率为＝0.615，所以随机调查一名学生，他戴眼镜的概率约为0.615.11．为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n条鱼，将这n个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为30和0.25，则n＝________.答案　120解析　据题意知n×0.25＝30，所以n＝120.n三、解答题12．某制造商今年3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请将上表补充完整；(2)已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率．解　(1)频率分布表：分组频数频率[39.95,39.97)100.1[39.97,39.99)200.2[39.99,40.01)500.5[40.01,40.03]200.2合计1001.0(2)标准尺寸是40.00mm，且误差不超过0.03mm，即直径落在[39.97,40.03]内．由(1)中频率分布表知，直径落在[39.97,40.03]内的频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以直径误差不超过0.03mm的概率约为0.9.13．为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾．试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．解　设水库中鱼的尾数为n，从水库中任捕一尾，每尾鱼被捕的频率(代替概率)为，第二次从水库中捕出500尾，带有记号的鱼有40尾，则带记号的鱼被捕的频率(代替概率)为，由≈，得n≈25000.所以水库中约有25000尾．n四、探究与拓展14．给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.其中正确命题有__________．(填序号)答案　④解析　①错，次品率是指出现次品的可能性，从中任取200件，可能有10件次品，也可能没有．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．15．街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？解　两枚骰子点数之和如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是＝，两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，概率是＝.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜．