2020版高中数学第一章常用逻辑用语2.1充分条件2.2必要条件学案北师大版 10页

2．1　充分条件2．2　必要条件学习目标　1.了解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一　充分条件与必要条件的概念一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．知识点二　充分条件与必要条件的判断命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件1．命题“若p，则q”是假命题，p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．(　√　)2．在判定定理中，条件是结论的充分条件．(　√　)3．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　×　)4．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件．(　√　)题型一　充分条件与必要条件的判断例1　(1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是_____________________．(填序号)①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，p：a与b无公共点，q：α∥β；③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　充分条件的判断答案　①解析　对①，p⇒q；对②，p⇏q；对③，p⇏q，故填①.n(2)下列各题中，p是q的必要条件的是________．(填序号)①p：x2>2016，q：x2>2015；②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0b>1，q：log2a>log2b>0.考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　②③解析　①q⇏p；②p：0≤a<1，故q⇒p；③log2a>log2b>0⇒a>b>1，∴q⇒p，故填②③.引申探究　本例(1)中p是q的必要条件的是________．答案　①②解析　①x2－2x＋1＝0⇒x＝1，即q⇒p；②⇒a与b无公共点，即q⇒p；③q⇏p．故填①②.反思感悟　充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1　对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　Bn解析　∵⇒a>b，⇒abc⇏a>b，而由a>b⇏ac>bc，∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是“a>b”的必要条件，故A，C错误．又⇒a＝b，⇏a＝b，∴由ac＝bc⇏a＝b，而由a＝b⇒ac＝bc，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B.题型二　充分条件与必要条件的应用例2　已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　由充分条件、必要条件求参数的范围解　解不等式得p：－2≤x≤3，当m>0时，q：2－3m≤x≤2＋3m，由q是p的充分条件可得q⇒p，从而⇒00)，∵q是p的必要条件，∴p⇒q，从而解得m≥.∴正实数m的取值范围为.反思感悟　1.设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB.2．利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．n跟踪训练2　已知p：关于x的不等式0，要使AB，应有解得00”是“x≠0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件考点　充分条件、必要条件的综合应用题点　充分不必要条件的判定答案　A解析　∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)A．充分条件B．必要条件C．既不充分又不必要条件D．无法判断考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　充分条件的判断答案　A解析　∵a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，∴a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件．n3．设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　)A．x>1B．x<1C．x>3D．x<3考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　A解析　∵x>2⇒x>1，∴x>1是x>2的必要条件．4．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“，”的________条件．(填“充分”“必要”)考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　充分条件的判断答案　充分解析　若方程的两根都大于3，即x1>3，x2>3，可得成立，故“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“”的充分条件．5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－22解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.1．充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的既充分又必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．n一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件考点　充分条件、必要条件的综合应用题点　必要不充分条件的判定答案　B解析　当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件考点　充分条件、必要条件的综合应用题点　必要不充分条件的判定答案　B解析　由a＋b>2⇏a>1且b>1，所以“a＋b>2”不是“a>1且b>1”的充分条件．又“a>1且b>1”一定能推出“a＋b>2”，故“a＋b>2”是“a>1且b>1”的必要不充分条件．3．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的(　　)A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　B解析　原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)A．充分条件B．必要条件C．以上都不对D．不确定考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　充分条件的判断答案　An解析　当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx(x∈R)是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数不一定得出φ＝0，故A正确．5．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)A.>1B.<－1C．a＋b<0D．a－b>0考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　C解析　a＋b<0⇏a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.6．下列命题中q是p的必要条件的是(　　)A．p：A∩B＝A，q：A⊆BB．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1C．p：|x|<1，q：x<0D．p：x2>2，q：x>考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　A解析　由A∩B＝A能得出A⊆B，其余选项都不符合要求．7．“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)A．0B．2C．4D．16考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　由充分条件、必要条件求参数的值答案　B解析　由x＝2能得出x2＝4，所以选项B正确．8．集合A＝，B＝{x|－a0”是“x>1”的必要条件；②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；③“a3>b3”是“a>b”的必要条件；④在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件．考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　必要条件的判断答案　①③解析　①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③中，a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．已知p：－4b恒成立的实数b的取值范围．考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　由充分条件、必要条件求参数的范围解　由于p：x2－2x－3<0⇔－10)．依题意，得{x|－10)，所以解得a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2，即(－∞，2)．14．若“a≥b⇒c>d”和“ad”为真，所以它的逆否命题“c≤d⇒a0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．考点　充分条件、必要条件的概念及判断n题点　由充分条件、必要条件求参数范围解　(1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，解得1