2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题学案 12页

专题突破四　圆锥曲线的定点、定值与最值问题与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19题或第20题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值．求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．一、定点问题例1　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.n由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．点评　求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0)．跟踪训练1　设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．考点　椭圆中的定值、定点问题题点　椭圆中的定点问题解　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，椭圆方程为＋＝1，代入点可得b2＝2，a2＝4，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，n把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN，所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝＋2×＋4＋＝＝＝0.因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.二、定值问题例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．考点　题点　(1)解　由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.n所以C的方程为＋＝1.(2)证明　方法一　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则①－②得＋＝0，∴kAB＝＝－＝－·.又kOM＝，∴kAB·kOM＝－.∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．点评　(1)求定值问题的常用方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．跟踪训练2　(2018·江西南昌高二检测)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点D(1,2)为抛物线C上一点．(1)直线l过点F交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝5，求直线l的方程；(2)过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值．考点　抛物线中的定值、定点问题题点　抛物线中的定值问题n解　(1)依题意，点F的坐标为(1,0)．设直线l的方程为x＝my＋1，联立方程消去x并整理得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，故|AB|＝|y1－y2|＝·＝4(m2＋1)＝5，解得m＝±，故直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.(2)方法一　设直线DP的斜率为k(k≠0)，则直线DQ的斜率为－k.令t＝，联立方程消去x并整理得y2－4ty＋8t－4＝0.设P(xP，yP)，因为点D的坐标为(1,2)，所以2yP＝8t－4，故yP＝4t－2.从而点P的坐标为(4t2－4t＋1,4t－2)，用－t替换点P坐标中的t可得点Q的坐标为(4t2＋4t＋1，－4t－2)，所以直线PQ的斜率为＝－1，即直线PQ的斜率为定值－1.方法二　设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，因为P，Q在抛物线y2＝4x上，所以所以y－y＝4(x3－x4)．因为x3≠x4，所以kPQ＝＝.同理，kDP＝，kDQ＝.因为kDP＝－kDQ，所以＝－，n所以y3＋y4＝－4，即直线PQ的斜率kPQ＝＝－1(定值)．三、最值、范围问题与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考考查的重点，多以直线和椭圆相交或直线和抛物线相切、相交为前提，考查弦长、面积或相关代数式的最值与范围问题，该问题综合性较强，具有一定的难度，其中最值与范围问题多与三角函数、平面几何等知识综合考查，形式多样．例3　设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题解　(1)由题意可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝.由得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.(2)联立方程消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝8m2－16(m2－4)>0，得－2n>0)，椭圆C2：＋＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，试求弦长|MN|的取值范围．考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，∴直线AB的方程为＋＝1.n∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝＝b，整理得a2＋b2＝7(a－1)2.又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1.①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2；②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋p，将y＝kx＋p代入椭圆C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0，∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0，即p2＝4k2＋3.记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝kx＋p代入椭圆C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0，此时x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|x1－x2|＝，∴|MN|＝·＝4＝2.∵3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，即2<2≤4.结合①②，得弦长|MN|的取值范围为[2，4]．1．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．4n考点　求抛物线的最值问题题点　根据抛物线定义转换求最值答案　D解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，即|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.2．已知椭圆＋＝1的长轴的两个端点为A1，A2，点P是椭圆上的点，则当直线PA1，PA2的斜率k1，k2都存在时，k1k2＝________.考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案　－解析　设P(x0，y0)，则·＝，而＋＝1，∴y＝3，即＝，∴k1k2＝－.3．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，满足·＝0(O是原点)．求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值；(2)直线AB过定点．考点　抛物线中的定值、定点问题题点　抛物线中的定点问题证明　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)∵·＝0，∴OA⊥OB，n∴＝－，∴x1x2＝－y1y2，①∵∴(y1y2)2＝4p2x1x2.④由①④得y1y2＝－4p2且x1x2＝4p2，∴A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值．(2)当直线AB垂直于x轴时，易知直线AB方程为x＝2p.当直线AB与x轴不垂直时，由(1)中②－③，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，∴＝，∴直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，∴y＝x＋y1－＝x＋＝＋＝(x－2p)．故直线AB过定点(2p,0)．4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题解　(1)由题意得解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知，F1(－，0)，F2(，0)，设直线l：x＝2上的不同两点A，B的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)，则＝(－3，－y1)，＝(－，－y2)，由·＝0得，y1y2＋6＝0，即y2＝－，不妨设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2.n当且仅当y1＝，y2＝－时取等号，∴|AB|的最小值为2.5.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题(1)解　由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ＝[－4k(k－1)]2－4(1＋2k2)·2k(k－2)>0，得k<－2或k>0且k≠2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝.从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.6．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.n(1)解　当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.(2)证明　当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由得ky2－2y－4k＝0，显然方程有两个不等实根．所以y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.①将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.