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- 2022-04-12 发布
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阶段训练三(范围：§1～§3)一、选择题1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )A.B.C.D.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 B解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.2．曲线＋＝1(m<6)与曲线＋＝1(50，b>0)，则可令F(c,0)，B(0，b)，直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，所以e＝或e＝(舍去)．4．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )A.B．2C.D．4考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 C解析 ∵抛物线方程为y2＝x，∴其焦点坐标为，准线方程为x＝－，∴直线AB过抛物线焦点，∴由抛物线的定义知，弦AB的中点到直线x＝－的距离为2，∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.5．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )A．y2＝4xB．y2＝－4xC．x2＝4yD．y2＝8x考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 A解析 依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，∵P(2,2)为AB的中点，∴y1＋y2＝4，由得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，∴2p＝(y2＋y1)＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x.n6．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )A．y2－x2＝96B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80D．y2－x2＝24考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.7．椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )A．4B．5C．5D．3考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，－4)，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆与双曲线的定义可得所以|PF1|＝5＋，|PF2|＝5－.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝，且∠F1PF2是三角形的内角，于是sin∠F1PF2＝.因此△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×(5＋)×(5－)×＝3.8．一动圆与直线x＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的一点到直线x＝－1的距离与到直线x＋y＋4＝0的距离和的最小值为( )A.B.C.D.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 Bn解析 由题意知动圆的圆心轨迹为以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x，设抛物线上的一点P，点P到直线x＝－1的距离为d1，到直线x＋y＋4＝0的距离为d2，由抛物线的定义知，d1＝|PF|，所以d1＋d2＝|PF|＋d2，|PF|＋d2的最小值为点F到直线x＋y＋4＝0的距离＝.故选B.二、填空题9．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 解析 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则双曲线的焦距为2，则有解得∴mn＝.10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 2解析 双曲线的离心率e＝＝＝2，解得＝，联立得y＝，所以S△OAB＝×＝，将＝代入解得p＝2.11．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 (－2，－1]解析 将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，n得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，∴|AB|＝＝≤8，即≤1.又a＞－2，∴－2＜a≤－1.三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．解 椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴ 解得∴双曲线的标准方程为－＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.13．斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的长为8.(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；(2)求直线的斜率k.考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题解 (1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，n由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，于是|AB|＝y1＋y2＋2，又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，所以直线l的方程为y＝kx＋1，所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，由直线l的方程与抛物线方程联立得kx＋1＝，即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.14．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为( )A．－3B．3C．2D．－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 由题意知，＝－1，∴＝－1，则y1＋y2＝－1，∵y1y2＝－1，∴x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，∴两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.15.如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°，(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．考点 直线与抛物线的位置关系n题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)证明 设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，由解得或即A点的坐标为.同样由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．所以AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，化简并整理，得y＝x－2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．(2)解 由于AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x并整理，得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0.所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.于是|y1－y2|＝＝＝＝2.S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2.所以当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.
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