2020版高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版 15页

§2　导数的概念及其几何意义学习目标　1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一　导数的概念函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率是函数y＝f(x)在x0点的导数．用符号f′(x0)表示，记作：f′(x0)＝＝.知识点二　导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．(　√　)2．函数f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率．(　×　)3．若函数y＝f(x)在x＝x0处有导数，则函数y＝f(x)在x＝x0处有唯一的一条切线．(　√　)n4．函数y＝f(x)在x＝x0处的切线与函数y＝f(x)的公共点不一定是一个．(　√　)题型一　利用定义求导数例1　建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解　∵当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为＝，＝＋，∴f′(100)＝，＝＝0.105，f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元．反思感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均变化率＝.(3)取极限，得导数f′(x0)＝.跟踪训练1　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．考点　函数在一点处的导数题点　根据定义求函数在某点处的导数解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1.题型二　求切线方程n例2　已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．考点　切线方程的求解及应用题点　求在某点的切线方程解　(1)＝＝＝(4＋2Δx)＝4，∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.反思感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．考点　切线方程的求解及应用题点　求在某点处的切线方程答案　－3解析　＝＝(4＋Δx)＝4，曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.题型三　求切点坐标例3　已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.考点　切线方程的求解及应用题点　求切点坐标n解　设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，当Δx趋于0时，趋于4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，∴切点坐标为.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．反思感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．考点　切线方程的求解及应用题点　求切点坐标解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．∵f′(x)＝＝＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，n解得x0＝－或x0＝2，∴切点坐标为或(2,3)．当切点为时，有＝4×＋a，a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.∴当a＝时，切点为；当a＝－5时，切点为(2,3)．题型四　导数几何意义的应用例4　(1)函数g(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是(　　)A．00且曲线的切线的斜率逐渐增大，∴g′(x)是增加的，∴g′(2)0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．考点　切线方程的求解及应用题点　根据切点或切线斜率求值解　∵f′(x)＝＝＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′(x)＝＝＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得