2020版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题（第1课时）函数的最值与导数学案北师大版 13页

第1课时　函数的最值与导数学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三　最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．1．函数的最大值一定是函数的极大值．(　×　)n2．开区间上的单调连续函数无最值．(　√　)3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　×　)题型一　求函数的最值命题角度1　不含参数的函数求最值例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值0；当x＝2π时，f(x)有最大值π.反思感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．考点　利用导数求函数的最值n题点　不含参数的函数求最值解　∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.命题角度2　含参数的函数求最值例2　已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．考点　含参数的函数最值问题题点　含参数的函数求最值解　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的递减区间是(－∞，k－1)；递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上是增加的．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当00，则令f′(x)＝0，解得x＝±.由x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．①当0<<1，即00，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋bn由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3　设f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，所以－a＝－，a＝，n所以a＝，b＝1.1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(3)考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值答案　B解析　∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上是减少的，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值考点　函数最值的应用题点　最值存在性问题答案　D解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是减少的，无最大值和最小值，故选D.3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D.考点　函数最值的应用题点　最值存在性问题答案　B解析　∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，∴a>0，又∵x∈(0,1)，∴07.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)A．π－1B.－1C．πD．π＋1考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值答案　C解析　y′＝1－cosx≥0，故y＝x－sinx在上是增加的，所以当x＝π时，ymax＝π.2．函数f(x)＝在[2,4]上的最小值为(　　)A．0B.nC.D.答案　C解析　f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)0.所以f(x)在[－1,0)上是减少的，在(0,1]上是增加的．又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，所以f(－1)0，b>0，所以f(x)＝ax3＋bx＋2x在[－1,1]上是增加的，故f(x)在[0,1]上的最大值f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2，f(x)在[－1,0]上的最小值f(－1)＝－(a＋b)＋2－1＝－2＋＝－.二、填空题8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．答案　(－∞，2ln2－2]解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，可知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上是增加的，在(ln2，＋∞)上是减少的，所以g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．9．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________．考点　含参数的函数的最值问题题点　已知最值求参数答案　1解析　求导得f′(x)＝，令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，又f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，因此a＝1.10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．考点　函数最值的应用题点　已知极值求最值答案　－13解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意知f′(2)＝0，得a＝3，∴f(x)＝－x3＋3x2－4，n令f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x1＝0，x2＝2(舍去)，∵f(－1)＝0，f(0)＝－4，f(1)＝－2，∴f(x)min＝－4，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，f′(x)min＝f′(－1)＝－9，∴f(m)＋f′(n)的最小值是－4－9＝－13.11．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.考点　含参数的函数最值问题题点　己知最值求参数答案　2　3解析　f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)，∵a>0，x∈[1,2]，∴当x∈(1，)时，f′(x)<0，当x∈(，2)时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f()＝b－4a＝－5，①f(x)max＝f(2)＝b＝3，②由①②可得a＝2，b＝3.三、解答题12．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．求g(x)的单调区间和最小值．考点　函数最值的应用题点　恒成立中参数的取值范围解　由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，所以g(x)＝lnx＋，所以g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的递减区间；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的递增区间．n因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.13．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值．考点　函数最值的应用题点　已知极值求最值解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，∵x∈[1，＋∞)时f′(x)≥0恒成立，∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取等号)．∴a≤3.(2)由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．当10，即当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是－9，最大值是15.14．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|取到最小值时t的值为(　　)A．1B.C.D.答案　D解析　由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)．ny′＝2t－＝＝.当0时，y′>0，可知y在上是增加的．故当t＝时，|MN|有最小值．15．已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在上是增加的，在上是减少的．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.令g(a)＝lna＋a－1，g′(a)＝＋1>0，则g(a)在(0，＋∞)上是增加的，又g(1)＝0，于是，当01时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)．