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- 2022-04-12 发布
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第2课时空间向量的应用二1.在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=π3,则二面角A-BD-C的大小为( )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π32.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角等于( )A.120°B.60°C.30°D.60°或30°3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成的角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π24.如图K40-9所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,则异面直线EF和BC1所成的角是 . 5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 . 图K40-96.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为( )A.-1010B.-120C.120D.10107.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )A.35B.45C.34D.558.如图K40-10,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )图K40-10A.35B.56C.3310D.36109.如图K40-11所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知nPA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC与AD所成角的余弦值为( )图K40-11A.-3010B.-305C.305D.301010.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.2211.如图K40-12,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°,则AE= . 图K40-1212.如图K40-13,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于点O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=22,E,F分别是AB,AP的中点,则二面角F-OE-A的余弦值为 . 图K40-1313.[2018·郑州三模]如图K40-14所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=AP=2AB=2,E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)若F为棱PC上一点,且BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.图K40-14n14.[2018·青岛模拟]如图K40-15所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,BB1=4,AB⊥BC,且AB=BC=32,M,N分别为棱AB,BC上的动点,且AM=BN,D为B1C1的中点.(1)当点M,N运动时,能否出现AD∥平面B1MN的情况?并说明理由.(2)若BN=2,求直线AD与平面B1MN所成角的正弦值.图K40-1515.[2017·全国卷Ⅱ]如图K40-16,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.图K40-16n课时作业(四十)B1.C [解析]∵二面角的范围是[0,π],且=π3,∴二面角A-BD-C的大小为π3或2π3.故选C.2.B [解析]设直线l与平面α所成的角为β,直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sinβ=|cosγ|=|cos150°|=32.∵0°≤β≤90°,∴β=60°,故选B.3.D [解析]以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).∴AC=(1,1,0),B1D=(-1,1,-1),∵AC·B1D=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,∴AC⊥B1D,∴AC与B1D所成的角为π2.4.60° [解析]以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),∴EF·BC1=2,∴cos=22×22=12,∴异面直线EF和BC1所成的角为60°.5.23 [解析]以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),故DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2).设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥DB,n⊥DC1,所以有x+y=0,y+2z=0,令y=-2,得n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos|=n·DC|n||DC|=23.n6.D [解析]以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.设DA=1,则A(1,0,0),C(0,1,0),E0,12,1,则AC=(-1,1,0),DE=0,12,1,设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos|=1010.故选D.7.B [解析]如图,取AC的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系.设各棱长均为2,则有A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),∴CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2),AD=(0,1,2).设n=(x,y,z)为平面B1DC的一个法向量,则有n·CD=0,n·CB1=0,即-y+2z=0,3x-y+2z=0,令y=2,则n=(0,2,1),∴cos=AD·n|AD||n|=45,即直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选B.8.A [解析]设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,以D为原点,分别以DA,DB,DG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),所以B1F=(1,-3,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-1).设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),则EF·n=0,GF·n=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,则z=1,y=3,故n=(1,3,1),所以cos=1-3-15×5=-35,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为35.故选A.9.D [解析]因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,所以AP,AB,AE两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以nD(2,0,1),故CP=(-4,2,2),AD=(2,0,1),所以cos=AD·CP|AD|·|CP|=-65×26=-3010.设异面直线PC与AD所成的角为θ,则cosθ=|cos|=3010.10.B [解析]以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),∴A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1·A1D=0,n1·A1E=0,即y-z=0,x-12z=0,令x=1,则n1=(1,2,2).又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos=23×1=23,即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.11.2 [解析]如图,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0,3,0),D(0,-3,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),∴OF=(-1,0,3),DB=(0,23,0),EB=(-1,3,-a).设平面BED的一个法向量为n=(x,y,z),则n·DB=0,n·EB=0,即23y=0,-x+3y-az=0,令z=1,则n=(-a,0,1),∴cos=n·OF|n|·|OF|=a+3a2+1×10.∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°,∴|a+3|a2+1×10=22,解得a=2或a=-12(舍去),∴AE=2.12.33 [解析]以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,zn轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题知OA=OB=2,则E(1,-1,0),F(0,-1,1),则OE=(1,-1,0),OF=(0,-1,1).设平面OEF的一个法向量为m=(x,y,z),则m·OE=0,m·OF=0,即x-y=0,-y+z=0,令x=1,则m=(1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),则cos=m·n|m||n|=33.由图知二面角F-OE-A为锐二面角,所以二面角F-OE-A的余弦值为33.13.解:∵PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∴以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意得B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0).(1)证明:∵BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),∴BE·DC=0,即BE⊥DC.(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0),由点F在棱PC上,设CF=λCP=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),∴BF=BC+CF=(1-2λ,2-2λ,2λ),∵BF⊥AC,∴BF·AC=2×(1-2λ)+2×(2-2λ)=0,解得λ=34,∴BF=-12,12,32.设平面FAB的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1·AB=x=0,n1·BF=-12x+12y+32z=0,令z=1,则n1=(0,-3,1),易知平面ABP的一个法向量为n2=(0,1,0),则cos=n1·n2n1·n2=-310=-31010,易知二面角F-AB-P的平面角是锐角,∴其余弦值为31010.14.解:(1)当M,N分别为AB,BC的中点时,AD∥平面B1MN,证明过程如下:连接CD,∵CN∥B1D且CN=B1D=12BC,∴四边形B1DCN为平行四边形,∴DC∥B1N,又DC⊄平面B1MN,B1N⊂平面B1MN,∴DC∥平面B1MN.n∵M,N分别为AB,BC的中点,∴AC∥MN,又AC⊄平面B1MN,MN⊂平面B1MN,∴AC∥平面B1MN.∵DC∩AC=C,∴平面ADC∥平面B1MN,又AD⊂平面ADC,∴AD∥平面B1MN.(2)如图,设AC的中点为O,作OE⊥OA,连接OB,以O为原点,OA,OE,OB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,∵BN=2,AB=BC=32,∴AC=6,∵M(2,0,1),N(-1,0,2),A(3,0,0),B1(0,-4,3),D-32,-4,32,∴MN=(-3,0,1),B1M=(2,4,-2),设平面B1MN的一个法向量为n=(x,y,z),则有n⊥MN,n⊥B1M,即-3x+z=0,2x+4y-2z=0,令x=1,则n=(1,1,3),又AD=-92,-4,32,∴cos=n·AD|n||AD|=-41477,设直线AD与平面B1MN所成的角为α,则sinα=|cos|=41477.15.解:(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=12AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=12AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).设M(x,y,z)(0|=sin45°,|z|(x-1)2+y2+z2=22,n即(x-1)2+y2-z2=0.①又M在棱PC上,设PM=λPC,则x=λ,y=1,z=3-3λ.②由①②解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去)或x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,从而AM=1-22,1,62.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则m·AM=0,m·AB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=m·n|m||n|=105,因此二面角M-AB-D的余弦值为105.
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