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- 2022-04-12 发布
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第60讲直接证明与间接证明1.[2018·菏泽模拟]命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.放缩法2.[2018·唐山模拟]已知a,b,c是不全相等的正数,给出下列说法,其中正确的个数为( )①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0;②a>b与ab>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”时,索的因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<04.已知实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3,则ax+by的最大值为 . 5.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的条件的序号是 . 6.[2018·陕西澄城模拟]用分析法证明:欲使①A>B,只需②C2”;证明命题②“若x2=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x≠-2或x≠2”.以下结论正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确9.[2018·焦作期中]用分析法证明不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)时,最后得到的一个显然成立的命题是( )A.(ac+bd)2≥0B.a2+b2≥0C.(ad-bc)2≥0D.c2+d2≥0n10.[2018·临沂期末]“若x>0,y>0且x+y>2,求证1+xy<2,1+yx<2中至少有一个成立.”用反证法证明这个命题时,下列假设正确的是( )A.假设1+xy>2,1+yx>2B.假设1+xy≥2,1+yx≥2C.假设1+xy和1+yx中至多有一个不小于2D.假设1+xy和1+yx中至少有一个不小于211.给出下面三个不等式:(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac;(2)a(1-a)≤14;(3)ba+ab≥2;其中恒成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.0个12.比较大小:8-5 10-7.13.设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.n课时作业(六十)1.B [解析]综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论.故本题证明的过程应用了综合法.2.B [解析]①假设等式成立,则需a=b=c,不合题意,故①错误;②假设全部不成立,则可知a=b=c,不合题意,所以②正确;③令a=1,b=2,c=3,可得a≠c,b≠c,a≠b同时成立,所以③错误.故选B.3.C [解析]由题意知要证b2-ac<3a,只需证b2-ac<3a2,即证(a+c)2-ac<3a2,只需证a2+2ac+c2-ac-3a2<0,只需证-2a2+ac+c2<0,即证2a2-ac-c2>0,只需证(a-c)(2a+c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.4.3 [解析]不妨设a=sinα,b=cosα,x=3sinβ,y=3cosβ,则ax+by=3sinαsinβ+3cosαcosβ=3(sinαsinβ+cosαcosβ)=3cos(α-β)≤3,故ax+by的最大值是3.5.①③④ [解析]要使ba+ab≥2成立,只需ba>0且ab>0成立,即a,b都不为0且同号即可,故①③④能使ba+ab≥2成立.6.A [解析]分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立,∴②是①的充分条件.故选A.7.A [解析]∵a+b2≥ab≥2aba+b,且f(x)=12x在R上是减函数,∴fa+b2≤f(ab)≤f2aba+b,即A≤B≤C.8.C [解析]命题①,证明“已知p3+q3=2,求证:p+q≤2”时,可假设“p+q>2”,故①的假设正确;命题②,证明“若x2=4,则x=-2或x=2”时,应该假设“x≠-2且x≠2”.故②的假设错误.故选C.9.C [解析]为了证明(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),只要证明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证明2abcd≤a2d2+b2c2,也就是证明(ad-bc)2≥0,这是显然成立的.10.B [解析]由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以假设原命题的否定不成立进行推证.故应假设1+xy≥2,1+yx≥2.11.B [解析]a2+b2+c2=a2+b22+a2+c22+b2+c22≥ab+ac+bc(当且仅当a=b=c时等号成立);a(1-a)≤a+1-a22=14当且仅当a=12时等号成立;当ba<0时,ba+ab≥2不成立.12.> [解析]猜测8-5>10-7.要证8-5>10-7,只需证8+7>10+5,即证(8+7)2>(10+5)2,即证15+256>15+250,即证56>50,即证56>50,显然成立,故8-5>10-7.13.证明:假设4a(1-b)>1,4b(1-c)>1,4c(1-d)>1,4d(1-a)>1,则有a(1-b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14,所以a(1-b)>12,b(1-c)>12,c(1-d)>12,d(1-a)>12.又因为a(1-b)≤a+(1-b)2,b(1-c)≤b+(1-c)2,c(1-d)≤c+(1-d)2,nd(1-a)≤d+(1-a)2,所以a+1-b2>12,b+1-c2>12,c+1-d2>12,d+1-a2>12,将上面各式相加得2>2,矛盾.所以4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.
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