2020版高考数学复习第十二单元第61讲数学归纳法练习理新人教a版 4页

第61讲　数学归纳法1.若f(n)=1+12+13+…+16n-1(n∈N*),则f(1)的值为(　　)A.1B.15C.1+12+13+14+15D.以上答案都不正确2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是(　　)A.假设n=k(k∈N*)时命题成立,证明n=k+1时命题成立B.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+1时命题成立C.假设n=2k+1(k∈N*)时命题成立,证明n=k+1时命题成立D.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+2时命题成立3.[2018·仙桃期末]已知n为正整数,用数学归纳法证明f(n)=1+3+5+…+(2n-1)=n2时,假设n=k(k∈N*)时命题为真,即f(k)=k2成立,则当n=k+1时,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是(　　)A.f(k+1)=f(k)+2k-3B.f(k+1)=f(k)+2k-1C.f(k+1)=f(k)+2k+1D.f(k+1)=f(k)+2k+34.对任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=　　　　. 5.用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n-11,n∈N*)”,由n=k(k>1,k∈N*)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项的项数是　　　　. 6.[2018·商丘期末]某个命题与正整数有关,若当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么推得当n=k+1时该命题成立.现已知当n=8时,该命题不成立,那么可推得(　　)A.当n=7时,该命题成立B.当n=7时,该命题不成立C.当n=9时,该命题成立D.当n=9时,该命题不成立7.[2018·嘉峪关期中]用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)A.5(5k-2k)+3×2kB.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-3×5k8.对于不等式n2+n1,k∈N)等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项为　　　　　　. 11.[2018·绍兴期末]用数学归纳法证明(1+a)n>1+na,其中a>-1,a≠0,n是大于1的自然数.12.[2017·淄博质检]设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足当f(k)≥k+1,k∈N*成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列说法正确的是(　　)A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立13.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为　　　　. n课时作业(六十一)1.C　[解析]等式右边的分母是从1开始的连续的自然数,且分母最大为6n-1,则当n=1时,分母最大为5,故选C.2.D　[解析]A,B,C中,n=k+1不一定表示正奇数,只有D中k为正奇数,k+2为正奇数.故选D.3.C　[解析]用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n-1=n2时,假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即f(k)=1+3+5+…+(2k-1)=k2,则当n=k+1时,f(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1),需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+2k+1.4.5　[解析]当n=1时,36+a3能被14整除,则a=3或5.当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a≠3.检验可知a=5满足题意.5.2k　[解析]由n=k(k>1,k∈N*)到n=k+1时,不等式左边增加的项为12k+12k+1+…+12k+1-1,共增加了(2k+1-1)-(2k-1)=2k项.6.B　[解析]由题意可知,原命题对n=8不成立,则原命题对n=7也不成立,否则,n=7时命题成立,由已知推得n=8时命题也成立,与当n=8时该命题不成立矛盾.7.A　[解析]假设n=k(k∈N*)时命题成立,即5k-2k能被3整除.当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.8.D　[解析]n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选D.9.A　[解析]∵等式对一切n∈N*均成立,∴当n=1,2,3时等式成立,即1=3(a-b)+c,1+2×3=32(2a-b)+c,1+2×3+3×32=33(3a-b)+c,整理得3a-3b+c=1,18a-9b+c=7,81a-27b+c=34,解得a=12,b=c=14.故选A.10.(2k+2)+(2k+3)　[解析]用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左边是1+2+3;假设n=k时,等式成立,左边为1+2+3+…+(2k+1),则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+[2(k+1)+1],∴从n=k到n=k+1时,左边需增加的项是(2k+2)+(2k+3).11.证明:(1)当n=2时,(1+a)2=1+2a+a2>1+2a,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N)时,不等式成立,即(1+a)k>1+ka,则当n=k+1时,(1+a)k+1=(1+a)k(1+a)>(1+ka)(1+a)=1+a(k+1)+ka2>1+(k+1)a,即n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2)可知,(1+a)n>1+na成立.12.D　[解析]当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n,n∈N*时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.故选D.13.n2+n+22　[解析]1条直线将平面分成1+1=2(个)区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域……n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+n(n+1)2=n2+n+22(个)区域.n