2020版高考数学复习第八单元第46讲双曲线练习理新人教a版 6页

第46讲双曲线1.[2018·湖南、河南联考]已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(0,-2),一条渐近线的斜率为3,则该双曲线的方程为(　　)A.x23-y2=1B.x2-y23=1C.y23-x2=1D.y2-x23=12.[2018·湖南邵阳期末]设P是双曲线y2-x23=1上一点,A(0,-2),B(0,2),若|PA|+|PB|=8,且|PA|>4,则|PB|=(　　)A.2B.32C.3D.723.[2018·河北衡水武邑中学六模]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线3x-y+5=0垂直,则双曲线C的离心率为(　　)A.2B.103C.10D.224.若双曲线y25-x2=m(m>0)的焦距为12,则m=　　　　. 5.[2018·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率为　　　　. 6.[2018·福建四校联考]设F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比为1∶6,则双曲线的渐近线方程为(　　)A.22x±y=0B.x±22y=0C.x±35y=0D.35x±y=07.[2018·广东揭阳二模]已知双曲线的焦距为4,A,B是其左、右焦点,点C在双曲线右支上,△ABC的周长为10,则|AC|的取值范围是(　　)A.(2,5)B.(2,6)C.(3,5)D.(3,6)8.[2018·广东茂名二联]已知a>0,b>0,以(0,b)为圆心,a为半径的圆与双曲线C:y2a2-x2b2=1的渐近线相离,则C的离心率的取值范围是(　　)A.1,5+12B.5+12,+∞nC.1,5+32D.5+32,+∞9.[2018·陕西西安模拟]等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=43,则C的实轴长为(　　)A.2B.22C.4D.810.[2018·浙江绍兴二调]已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆交渐近线ay=bx于点P(点P在第一象限),PF1交双曲线左支于点Q,若Q是线段PF1的中点,则该双曲线的离心率为(　　)A.3B.5C.5+1D.5-111.[2018·北京朝阳区质检]已知双曲线C的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是　　　　. 12.[2018·云南昆明一中摸底]已知双曲线C的中心为坐标原点O,F(2,0)是双曲线C的一个焦点,过点F作渐近线的垂线l,垂足为M,直线l交y轴于点E,若FM=3ME,则双曲线C的方程为　　　　. 13.[2018·海南中学一模]已知双曲线C的一条渐近线的方程是x-2y=0,且双曲线C过点(22,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为双曲线C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于点M,N,求|MN|的最小值.14.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知O为坐标原点,直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使得OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.n15.[2018·重庆三诊]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A,B两点,若AF1与圆M相切,则双曲线C的离心率为(　　)A.2+362B.2+62C.32+62D.32+26216.[2018·山西五校联考]设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A,已知Qc,3a2,|F2Q|>|F2A|,P是双曲线C右支上的动点,且|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A.102,+∞B.1,76C.76,102D.1,102课时作业(四十六)1.C　[解析]由题意得c=2,ab=3,因为a2+b2=c2,所以a=3,b=1,所以双曲线的方程为y23-x2=1,故选C.2.C　[解析]因为|PA|>4,所以|PB|<4,故|PA|-|PB|=2a=2,又|PA|+|PB|=8,所以|PB|=3,故选C.3.B　[解析]易知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,直线3x-y+5=0可化为y=3x+5,∵双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线与直线3x-y+5=0垂直,∴-ba=-13,即c2-a2a2=19,∴双曲线的离心率e=ca=103,故选B.4.6　[解析]由题意知双曲线的标准方程为y25m-x2m=1(m>0),∵双曲线的焦距为12,∴5m+m=122n2=36,∴m=6.5.2　[解析]取双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则由题意得|bc+a×0|b2+a2=32c,则b=32c,所以b2=34c2,即c2-a2=34c2,所以c2=4a2,则c=2a,所以双曲线的离心率e=ca=2.6.B　[解析]易知双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线的距离d=|bc|a2+b2=bcc=b,∵点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比为1∶6,∴b2c=16,即c=3b,则c2=a2+b2=9b2,∴a2=8b2,则a=22b,故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±b22bx=±122x,即x±22y=0,故选B.7.C　[解析]设|AC|=m,|BC|=n,则由双曲线的定义可得m-n=2a①,由题意可得m+n=10-4=6②,联立①②,可得m=a+3.因为0a,即b2>ac,∴c2-ac-a2>0,即e2-e-1>0,∴e>5+12或e<1-52(舍).故选B.9.C　[解析]因为等轴双曲线的焦点在x轴上,所以设其方程为x2a2-y2a2=1(a>0),易知抛物线的准线方程为x=-4,代入双曲线方程,解得y=±16-a2.则|AB|=216-a2=43,解得a=2,所以双曲线的实轴长为2a=4,故选C.10.C　[解析]易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,由x2+y2=c2,y=bax,结合c2=a2+b2,且点P在第一象限,可得P(a,b).双曲线的左焦点为F1(-c,0),则PF1的中点坐标为a-c2,b2,又点Q在双曲线上,所以(a-c)24a2-b24b2=1,整理可得c2-2ac-4a2=0,即e2-2e-4=0,解得e=1±5,因为双曲线的离心率e>1,所以e=5+1.11.x22-y22=1　[解析]抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),所以双曲线C的右焦点坐标为(2,0),因为双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,所以a=b,所以a2+a2=4,所以a2=2,所以双曲线C的方程为x22-y22=1.12.x2-y23=1　[解析]设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=±bax,由点到直线的距离公式可得FM=b,由FM=3ME得|ME|=b3,在△EOF中,由勾股定理可得|OE|=(4b3) 2-4,∵FE与渐近线垂直,∴(4b3) 2-42=ab,结合a2=4-b2,可得b2=3,a2=1,∴双曲线C的方程为x2-y23=1.n13.解:(1)由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2-4y2=k(k≠0),把(22,1)代入,可得k=4,所以双曲线C的方程为x24-y2=1.(2)易知当点P在双曲线右支上时,|MN|取得最小值.不妨设点P位于第一象限,由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),根据双曲线C的方程可得yx-2·yx+2=14,设直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,则k1>0,k2>0,且k1k2=14.直线PA1的方程为y=k1(x+2),令x=1,得M(1,3k1),直线PA2的方程为y=k2(x-2),令x=1,得N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥23k1k2=3,当且仅当3k1=k2,即k1=36,k2=32时等号成立.故|MN|的最小值为3.14.解:(1)由题意可知a=23,∵双曲线的一条渐近线的方程为y=bax,即bx-ay=0,且焦点到渐近线的距离为3,∴|bc|b2+a2=b=3,∴双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程y=33x-2与双曲线方程x212-y23=1联立,得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=33(x1+x2)-4=12,∴x0y0=433,x0212-y023=1,得x0=43,y0=3,∴t=4,点D的坐标为(43,3).15.C　[解析]根据题意,得|AM|=c2,|MF1|=3c2,因为AF1与圆M相切,所以∠F1AM=π2,所以在Rt△F1AM中,由勾股定理可得|AF1|=2c,所以cos∠F1MA=|AM||F1M|=13,所以cos∠AMF2=-13,在△AMF2中,由余弦定理可得|AF2|=c24+c24-2·c2·c2·(-13)=63c,所以e=2c2a=2c2c-6c3=32+62,故选C.16.B　[解析]AF2垂直于x轴,则|F2A|=b2a,点A的坐标为c,b2a,∵Qc,3a2,且|F2Q|>|F2A|,∴3a2>b2a,即3a2>2b2=2(c2-a2),则有e=ca<102.又|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,∴由双曲线的定义,n可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立,易知当点P与点A重合时,|PF2|+|PQ|取得最小值为|F2Q|=3a2,∴3c<2a+3a2,即e=ca<76,由e>1,可得e的取值范围是1,76.