2020高考数学大一轮复习第九章概率课下层级训练53几何概型文新人教a版 7页

课下层级训练(五十三)　几何概型[A级　基础强化训练]1．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(　　)A．　　　　　　　　　　B．C．D．无法计算B　[正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P＝＝，即＝，解得S阴影＝.]2．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2m的概率为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．B　[与两端都大于0.2m即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m＝0.6m，记“空竹与两端距离都大于0.2m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P(A)＝＝.]3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)A．B．C．D．nB　[不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知所求概率P＝＝＝.]4．已知正棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VPABC＜VSABC的概率是(　　)A．B．C．D．B　[由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VPABC＜VSABC，故使得VPABC＜VSABC的概率P＝＝1－3＝.]5．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)A．B．C．D．C　[当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝.]6．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)nA．＋B．－C．－D．＋B　[由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为P＝＝＝－.]7．(2019·山东临沂月考)一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为__________．　[如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为×5×12＝30，阴影部分的面积为×π×22＝2π，所以所求概率为＝.]8．(2019·山东济南模拟)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为__________．　[设事件M＝“动点在三棱锥AA1BD内”，P(M)＝＝n＝＝＝.]9．在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为__________．　[如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB>90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB>90°的概率P＝＝.]10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是__________．　[∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝.][B级　能力提升训练]11．已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)A．B．C．D．C　[如图，当BE＝1时，n∠AEB为直角，则当点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则当点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.]12．(2018·河北石家庄模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)A．B．C．D．D　[则＋＝，因为＋＋2＝0，所以＋＝－2，得＝－2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.]13．在边长为4的等边三角形OAB及其内部任取一点P，使得·≤4的概率为(　　)A．B．C．D．D　[设在上的投影为||，又·＝||·||，·≤4，则||≤1.取OB的中点M，作MN⊥OA于N，则满足条件的P构成的区域为图中阴影部分，N为OA的四等分点，所以使得·≤4的概率为＝.]14．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为__________．n　[对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，由题意可得·||·||＜，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，由几何概型计算公式可得，所求事件的概率P＝.]15．平面区域A1＝{(x，y)|x2＋y2＜4，x，y∈R}，A2＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为__________．1－　[分别画出区域A1，A2，如图中圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为＝1－.]16．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________(用数字作答)．　[设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50，　30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×15×15＝，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝.]n