七年级数学下册第二章相交线与平行线2探索直线平行的条件平行线的证明与性质讲义 21页

平行线的证明与性质一、平行线的判定方法1.平行：如果两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a//b．2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．　　即如果a//b，b//c，那么a//c．4.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行．　简单说成：同位角相等，两直线平行．5.在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行．例1.（1）在同一平面内，下列说法正确的有（　）①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个交点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　D．4个（2）下列各种说法，正确的是（　）①在平面内的两条线段，如果没有公共点，那么这两条线段平行；②如果两条射线平行，那么这两条射线没有公共点；③如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；④在平面内的两条直线，不相交则一定平行A．②③④　　　B．②③　　　　　C．①②　　　　D．②④答案：（1）B　　　　（2）D例2.（1）如图，若∠1=∠2，则_________//_________；n若∠2=∠3，则____∥_____；若∠3=_________，则l3//l4；若∠4=_________，则l1//l2．　　（2）已知l1.l2.l3被l4所截，若要使l1//l3，则添加的一个条件是（　）A．∠1=∠2　　　　　　　　B．∠2=∠3C．∠1=∠3　　　　　　　　D．∠1=∠4（3）如图，直线MN分别交AB.CD于E.F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，则当∠MEG=_________时，AB//CD．答案：　　（1）l3　l4；l1　l2；∠4；∠1　　（2）C　　（3）25°n　　提示：当∠MEB＝∠MFD时，AB∥CD　　即∠1＝∠2＋∠3　　又EG平分∠MEB，∴∠2＝∠3　　∴2∠2＝∠1＝50°，∴∠2＝25°例3.（1）如图，∠2=3∠1，且∠1＋∠3=90°，试说明AB//CD．∵∠1＋∠2=180°，且∠2=3∠1，∴∠1＋3∠1=180°，∴∠1＝45°又∠1＋∠3=90°，∴∠3=45°∴∠1＝∠3，∴AB//CD．（2）如图，已知∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN．解：∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，∴∠EAQ＝2∠1，∠EBN＝2∠2，又∠1＝∠2，∴∠EAQ＝∠EBN∴PQ∥MN（3）如图，已知直线A.B.c被直线D.e所截，∠1=∠2，∠3=∠4，那么直线a与直线c平行吗？为什么？n解：直线a与直线c平行．理由如下：∵∠1＝∠2，∴a∥b又∠3＝∠4，∴b∥c∴a∥c(平行公理推论)二、平行线的判定方法1.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.2.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.例1.（1）如图，要使得AB//CD，必须具备的条件是________或________或__________.　　（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1//l2的是（　）　　A．∠1=∠3　　　　　　　B．∠2=∠3　　C．∠4=∠5　　　　　　　D．∠2＋∠4=180°n　　（3）如图，下列判断错误的是（　）A．∵∠1=∠2，∴l3//l4B．∵∠3=∠4，∴l3//l4C．∵∠1=∠3，∴l3//l4D．∵∠2=∠3，∴l1//l2　　（4）如图，已知∠1=∠2，则在结论：　　①∠3=∠4　　　　②AB//CD　　　③AD//BC中（　）A．三个都正确　　　　　　B．只有一个正确C．三个都不正确　　　　　D．只有一个不正确（5）如图，①如果∠1=________，那么DE//AC；②如果∠1=________，那么EF//BC；③如果∠AED＋_________=180°，那么AC//ED；④如果∠2＋_______=180°，那么AB//DF. n答案：（1）∠1=∠2，∠3=∠2，∠2＋∠4=180°（2）B　　　（3）C　　　　（4）B（5）①∠C　　②∠FED　　　③∠A　　　④∠AED例2.如图，已知∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，试说明为什么BC//DG？ 解：因为∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，所以∠C＋∠D=180°，所以BC//DG.例3.如图，已知∠B=∠C，∠1=∠D，试问OM//AB吗？为什么？ 解：OM//AB．理由如下：因为∠B=∠C，所以AB∥CD又∠1=∠D，所以OM//CD所以AB∥OM.例4.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2=90°，AB//CD吗？为什么？n 解：AB//CD．理由如下：因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，所以∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2所以∠ABD＋∠BDC＝2（∠1＋∠2）又∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝180°所以AB∥CD.例5.如图，AC是∠BAD的平分线，∠1=∠3，∠2=∠4，试说明下列结论为什么成立？　　（1）AB//CD　　　（2）AC//DE解：（1）因为AC平分∠BAD，所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.所以AB∥CD.（2）因为∠2＝∠3，∠2＝∠4.所以∠3＝∠4，所以AC∥DE.三、平行线的性质性质1　两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；性质2　两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；n性质3　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.例1.（1）如图，AB//CD，直线EF与AB.CD分别相交于G、H，∠AGE=60°，则∠EHD的度数是（　）　　　　A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°（2）如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是________.（3）如图，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4等于（　）　　　A．80°　　　B．70°　　　　C．60°　　　D．50°（4）如图，是明明养的小乌龟上的一块花纹，DE//FG，BC//DE，EF//DC，DC//AB，则∠B与∠F的关系是_____________.答案：（1）C　　（2）56°　　（3）A　　　（4）∠B=∠Fn例2.（1）如图，已知AB//EF//CD，EG//DB，图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（　） 　　　　A．6个　　　B．5个　　　　　C．4个　　　　D．3个（2）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（　）　　A．120°　　　B．100°　　　C．140°　　　　　D．90°（3）在同一平面内有两个角，它们有一条边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（　）　　　　A．相等　　　B．互补　　　　C．相等且互补　　D．相等或互补答案：（1）B　　　（2）B　　　（3）D例3.如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，且∠E=∠3，试说明AD平分∠BAC的理由.解：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∴∠E＝∠2，∠3＝∠1又∠E=∠3，∴∠1＝∠2n∴AD平分∠BAC例4.已知，如图，∠1=∠2，∠A=∠F，试说明为什么∠C=∠D？ 解：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC，∴∠C＝∠4∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2＝∠3，∴DB∥EC，∴∠D＝∠4又∠C＝∠4∴∠C＝∠D例5.如图，已知∠1＋∠2=180°，∠B=∠3，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由.解：∠AED＝∠C．理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠5＝180°∴∠2＝∠5，∴AB∥EF∴∠4＝∠3n又∠B＝∠3，∴∠4＝∠B∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C例6.如图，已知AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2=90°，那么BC⊥AB，说明理由. 解：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD∴∠1＝∠3，∠2＝∠4又∠1＋∠2＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°即∠ADC＋∠BCD＝180°∴AD∥BC又AD⊥AB∴BC⊥AB一、选择题1.下列说法正确的是（　）A．不相交的两条直线是平行线B．互相平行的两条直线在同一平面内C．同一平面内，不相交的两条线段是平行线D．若线段AB和线段CD无交点，则它们一定平行2.已知直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线（　）A．有两条　　　　　　　　　　　　　　B．不存在C．有且只有一条　　　　　　　　　　　D．有一条或不存在n3.下列推理正确的是（　）A．因为a∥d，b∥c，所以c//dB．因为a∥c，b//d，所以c∥dC．因为a∥b，a∥c，所以b//cD．因为a∥b，c//d，所以a∥c4.在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，则a，c的位置关系是（　）A．一定相交B．一定平行C．也可能平行，也可能相交D．上述都不对5.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（　）A．1个　　　　　　　　　　　　　　　B．2个C．3个　　　　　　　　　　　　　　　D．4个6.如图所示立方体，下列说法正确的有（　）①AA1∥BB1；②AA1∥CC1；③AA1∥DD1；④AA1∥A1B1．A．0个　　　　　　　　　　　　　　　B．1个C．2个　　　　　　　　　　　　　　　D．3个7.在同一平面内有三条直线，若其中两条平行但与第三条直线不平行，则它们的交点的个数为（　）A．0个　　　　　　　　　　　　　　　B．1个C．2个　　　　　　　　　　　　　　　D．3个8.如图所示，如果∠D=∠EFC，那么（　）nA．AD//BC　　　　　　　　　　　　　　B．EF//BCC．AB//DC　　　　　　　　　　　　　　D．AD//EF9.如图所示，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，如果l1//l，那么l2与l__________，根据____________．10.如图所示，在∠AOB的内部有一点P，已知∠AOB=60°．(1)过点P作PC∥OA，PD∥OB；(2)量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．11.若直线a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d吗?为什么?对于n条直线l1，l2，l3，…，ln，若l1∥l2，l2∥l3，…，ln－1∥ln，则又可得出什么结论?BCCCCDCD（1）略（2）∠CPD=60°，∠CPD与∠AOB相等或互补．10.解：∵a∥b，b∥c，∴a∥c，又c∥d，∴a∥d．同理l1∥l2∥l3∥…∥ln－1∥ln．n作业1一、选择题1.如图所示，下列条件中，能判断AB//CD的是（　）A．∠BAD=∠BCD　　　　　　　　　　B．∠1=∠2C．∠3=∠4　　　　　　　　　　　　D．∠BAC=∠ACD2.如图所示，在下列给出的条件中，不能判断AB//DF的是（　）A．∠A＋∠2=180°　　　　　　　　B．∠A=∠3C．∠1=∠4　　　　　　　　　　　　D．∠1=∠A3.如图所示，已知∠1=∠2，∠A=∠D，则下列推理正确的是（　）A．因为∠1=∠2，所以AB//CDB．因为∠1=∠2，所以BE//CFC．因为∠A=∠D，所以AB//CDD．因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4二、填空题4.如图所示.n（1）如图∠1=∠3，可推出_______//________，其理由是________________；（2）如果∠2=∠4，可推出_______//__________，其理由是________________；（3）如果∠B＋∠BAD=180°，那么可推出_______//__________，其理由是________________.5.如图所示，请你填写一个适当的条件：___________，使AD//BC.6.在同一平面内，若直线a1⊥a2，a2//a3，a3⊥a4，a4//a5，…，a9⊥a10，则a1与a10的位置关系为___________（a1与a10不重合）.三、综合题7.如图所示，已知∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，那么CE//DF吗？8.如图所示，已知点B在直线DE上，AB⊥CB，∠A=50°，∠CBD=40°，那么AC与BD是否平行？为什么？9.如图所示，直线EF交直线AB，CD于点M，N，∠EMB=∠END，MG平分∠EMB，NH平分∠END．试探究MG与NH的位置关系，并说明理由.n4.（1）AD//BC，内错角相等，两直线平行.（2）AB∥CD，内错角相等，两直线平行.（3）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行.5.∠ADB＝∠DBC或∠DAB＋∠ABC＝180°.6.a1⊥a107.解：CE//DF．理由如下：因为∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，所以∠ACE＝∠BDF.因为∠ACE＋∠ECD＝∠BDF＋∠CDF＝180°，所以∠ECD＝∠CDF，所以CE//DF.8.解：平行，理由如下：∵AB⊥CB∴∠ABC=90°∵∠CBD=40°∴∠ABE=180°－∠ABC－∠CBD=180°－90°－40°=50°∵∠A=50°∴∠A=∠ABE∴AC//BD9.解：∵MG平分∠EMB∴∠EMG=∠EMB∵NH平分∠ENDn∴∠ENH=∠END又∠EMB=∠END∴∠EMG=∠ENH∴MG//NH作业2一、填空题1.如图，直线a//b，∠1=70°，则∠2=_______.2.在第1题中，若a//b，则∠1与∠3的关系是_________________.3.如图，l1//l2，则∠1=________.4.如图，已知DE//BC，∠D=2∠DBC，∠1=2∠2，则∠DEB=________.二、选择题5.如图，若AD∥BC，则有：①∠A＋∠B＝180°，②∠B＋∠C＝180°，③∠C＋∠D＝180°．以上结论正确的是（　）nA．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　　D．①③6.如图，已知CD//AB，OE平分∠DOB，若∠D=50°，则∠AOE为（　）A．145°　　　B．155°　　　C．165°　　　D．175°7.若两条直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线（　）A．互相平行　　　　　　　　　B．互相垂直C．重合　　　　　　　　　　　D．相交三、综合题8.如图，已知AB//CD，∠B=∠D，试判定AD与BC的位置关系，并证明.9.有一条直的的等宽纸带，按图折叠时，纸带重叠部分中∠α是多少？10.如图，直线AC//BD，连结AB，直线AC.BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA.PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的折射所组成的角是0°角）　　（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC＋∠PBD；　　（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？n　　（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.1.70°2.∠1＋∠3=180°3.60°4.40°DBD8.平行．理由如下：∵AB//CD，∴∠B+∠C＝180°∵∠B＝∠D∴∠D+∠C＝180°∴AD∥BC9.75°10.（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.∵∠APB=∠PAE＋∠PEA,∴∠APB=∠PAC＋∠PBD.解法二：如图2过点P作FP∥AC,∴∠PAC=∠APF.∵AC∥BD，∴FP∥BD.n∴∠FPB=∠PBD.∴∠APB=∠APF＋∠FPB=∠PAC＋∠PBD.解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD=180°即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD=180°.又∠APB＋∠PBA＋∠PAB=180°,∴∠APB=∠PAC＋∠PBD.（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC＋∠APB.(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC＋∠APB.或∠PAC=∠PBD＋∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.(c)当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB＋∠PBD.选择(a)证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M∵AC∥BD,∴∠PMC=∠PBD.又∵∠PMC=∠PAM＋∠APM,∴∠PBD=∠PAC＋∠APB.n 选择(b)证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0°.∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.∴∠PBD=∠PAC＋∠APB或∠PAC=∠PBD＋∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.选择(c)证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD.∵∠PAC=∠APF＋∠PFA,∴∠PAC=∠APB＋∠PBD.