九年级数学下册直线与圆的位置关系29.1点与圆的位置关系点与圆的位置关系及应用素材 3页

点与圆的位置关系及应用一、点与圆的位置关系确定的方法方法1：先求出点到圆心的距离，并与圆的半径作比较，如果P是圆所在平面内的一点，d表示点到圆心的距离，r表示圆的半径，那么：d＜rp在圆内；d=rp在圆上；d＞rp在圆外．BAP（P）PQ图1方法2：利用圆内角、圆周角、圆外角三种角之间的大小来判断，如果AB是⊙O的一条弦，点Q是⊙O的一点，P点、Q点在直线AB的同旁，（如图1）则有：（1）∠APB＞∠AQB点p在圆内；（2）∠APB=∠AQB点p在圆上；（3）∠APB＜∠AQB点p在圆外．二、点与圆的位置关系的实际应用点与圆的位置关系在实际生活中的应用非常广泛，下面举几个方面的例子，供同学们参考．1．航海问题例1．已知如图2，表示一个暗礁区，它的边缘是以AB为弦的一条圆弧，现已测得暗礁区直径为600米，灯塔A、B之间的距离为300米，当船在直线AB一侧航行时，为了使船只S不进入暗礁区，试问航行中船只S对两个灯塔A、B的视角应满足什么条件？BAPC图2分析：欲使船只不进入暗礁区，就是要保证点P（船只S）在圆（暗礁区）外，由点与圆的位置关系判定方法2可知，只需∠P＜从而把问题转化为只需求出AB的度数即可．解：过B作直径交⊙O于C，连结AC，则△ABC为Rt△，因为AB=300（米），BC=600（米），所以∠ACB=300，所以∠ABC=600，要使船只S不进入暗礁区只需满足条件：∠APB＜300．2．台风问题例2．如图3，据气象卫星显示，有一股强热带台风，10小时后，将在距A城正东方向300千米的B城登陆，并陆续以每小时30千米的速度向西偏北300的BN方向移动，风暴中心200千米的范围内是受风暴的影响的区域，试问A城是否会受这次风暴的影响？如会，那么A城受台风影响的时间会有多长？如不会，则说明理由．n分析：A城是否会受风暴的影响，取决于风暴团在沿BN移动过程中，点A会不会在以BN上某个点为圆心，以200千米为半径的区域（圆）内，也即取决于A城与BN的距离是否小于200千米，而A到BN的距离是等于垂线段AE的长．因为∠BAC=300，西北NAEDC图3B所以AE=AB=150（千米）＜200（千米），所以A城要受这次风暴的影响，要计算受风暴影响的时间，就计算BF上哪一段在以A城为圆心，以200千米为半径的圆内，即计算BF上到A的距离小于200千米的线段的长．设BN上C、D两点到A的距离等于200千米，则由AE=150，AD=200，得DE=50，DC=100，所以A城受台风影响的时间为（小时）．3．爆破问题例3．如图4，在A地往北90米的B处有一栋民房，西120米的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑，因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？B图4分析：要使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，爆破影响的半径只要小于B、C、D三处距离A处最近的距离即可．CAD因为AB=90，AC=120，由勾股定理得BC=150，因为D是斜边BC的中点，所以AD=BC=75（米），所以AD＜AB＜AC，所以爆破影响面半径应小于75（米）．4．噪音问题例4．如图5，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30，点A处有一所中学，PA=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PＮ方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？图5ＭＮＰ·ＡＱ分析：本题是一道研究噪音污染的应用性问题，Ｃ在阅读理解题意的过程中，可以利用草n图，把条件标注在图上，这样数形结合有助于分析，比如：A点周围100米以内受噪音影响，转化为数学问题，就是看A到MN的距离是否小于100．ＭＮＰＱ图6ＢＡ欲求学校受影响的时间，又知拖拉机的速度，只需求出影响的行驶距离，即上述圆与PN两交点距离，（1）作AB⊥MN于B，（如图6），在Rt△ABP中，∵∠ABP=90，∠APB=30，AP=160，∴AB==80，即点A到直线MN的距离小于100米，∴这所学校会受到噪音影响．（2）由（1）知，如果以A为圆心，100米为半径画圆，那么⊙Ａ和直线ＭＮ有两个交点，设两个交点分别为C、D，连AC、AD，那么AC＝AD＝100米，根据勾股定理和垂径定理，得CB＝DB＝（米），∴CD＝120米，学校受噪音影响的时间t＝120米÷18千米／小时＝24秒．