九年级数学下册直线与圆的位置关系29.3切线的性质和判定圆的切线中“连接”的妙用素材 3页

圆的切线中“连接”的妙用利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时，把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。一、利用圆的切线进行运算例1：如图1，在同心圆⊙O中，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB=6cm，求圆环的面积。分析：因为大圆的弦AB切于小圆C点，所以连结OC，可得OC⊥AB，进而根据垂径定理求得AC=AB=3。圆环的面积是大圆面积与小圆面积的差，连结OA，此时OA为大圆半径，OC为小圆半径，在Rt⊿AOC中，利用勾股定理可求出(OA2－OC2)的值，就可求出圆环的面积。解：连结OC、OA∵AB切小圆于点C∴OC⊥AB∴AC=AB=3在Rt⊿AOC中，∵OA2－OC2=AC2=9∴S圆环=S大圆－S小圆=(cm2)答：圆环的面积是9πcm2。二、利用圆的切线进行证明例2：如图2，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DABn分析：要证明AC平分∠DAB，就是要证∠1=∠2。C为切点，连结OC可得OC⊥AC，进而证得AD∥OC，得到∠1=∠3，其它问题就会迎刃而解。证明：连结OC∵CD为O的切线∴OC⊥CD又∵AD⊥CD∴AD∥OC∴∠1=∠3∵OA=OC∴∠2=∠3∴∠1=∠2即AC平分∠DAB三、证明圆的切线例3，如图3，在△AEF中，∠BAC的平分线AD与△AEF的外接圆⊙O交于D点，过D点作BC∥EF，分别交AE和AF的延长线于点B和点C。求证：BC为⊙O的切线。分析：要证明BC为⊙O的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：①BC要过半径的外端；②BC要与这条半径垂直。现在BC恰好过⊙O上的一点D，连结OD，条件①就自然具备了，只要证明OD⊥BC问题就会解决。因为AD平分∠BAC，所以可得，根据垂径定理可知OD⊥EF，再利用EF∥BC，可证得OD⊥BC。证明：连结OD∵AD平分∠BAC∴n∵OD为O的半径∴OD⊥EF又∵EF∥BC　　∴OD⊥BC∵BC过半径OD的外端D∴BC为⊙O的切线试一试：1、如图4，AB为⊙O的直径，⊙O过BC上一点D，过D作DE⊥AC于E点。求证：BD=CD2、如图5，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦BC交OA于点D，E为OA延长线上的一点，且EC=ED。求证：EC是⊙O的切线。参考答案：1、提示：连结OD，可得OD⊥DE。因为DE⊥AC，所以OD∥AC，由OA=OB可证得，OD为△ABC的中位线，所以BD=CD。2、提示：连结OC，在Rt△BOD中，∠OBD＋∠ODB=90°由EC=ED，得∠EDC=∠ECD=∠BDO由OB=OC得∠OBD=∠OCD所以∠OCD＋∠ECD=90°即OC⊥EC，所以EC是⊙O的切线。