九年级数学下册直线与圆的位置关系29.3切线的性质和判定灵活掌握切线的判定方法及应用素材 4页

灵活掌握切线的判定方法及应用　　我们知道关于圆的切线判定有三种方法：　　首先是切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．　　其二，如果一个圆的圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，那么这条直线是该圆的切线．　　其三，是切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．　　之所以给出三种判定方法，不仅是因为它们之间存在着内在的必然的联系，更主要的是可以运用它们从不同的角度进行判定，开拓了切线判定的各条通路，从而由题目中的不同的已知条件，选择恰当的方法来完成证明．　　下面具体地就几道例题的分析，帮助同学们灵活地掌握切线判定方法的应用．　　例1如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若(1)r=2；(2)r＝2.4；(3)r=3，那么以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？　　分析：判定直线与圆的位置关系，除观察直线与圆的交点个数外，还可以比较圆心到直线的距离与半径的大小．一般常用后一种方法，本题中⊙C的半径是已知的，所以只需求解C到直线AB的距离，而这个距离又是可求的——它是已知Rt△ABC的顶点C到斜边AB的垂线段的长．　　解：作CD⊥AB于D．　　∵∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=5．　　又根据三角形面积公式得CA·BC=CD·AB．　　　　即圆心C到直线AB的距离d=2.4．　　(1)当r=2时，d＞r，AB与⊙C相离；　　(2)当r=2.4时，d=r，AB与⊙C相切；(3)当r=3时，d＜r，AB与⊙C相交．n　　例2如图2，△ABC内接于⊙O，直线MN经过点C，而且∠BCM=∠A．　　求证：MN是⊙O的切线．　　分析：MN与⊙O之间存在着公共点C，从已知中无法对C点的唯一性作出判断，由圆的切线的判定定理知，与圆有公共点的直线，如果与圆中经过这个点的半径垂直，那么，直线MN到圆心O的距离等于半径(直线MN与⊙O的公共点唯一)，则必有直线MN与圆O相切．解题的关键是证明直线与过公共点的半径垂直．　　证明：过C点作直径CD，连结BD．　　则∠DBC=90°，∴∠D+∠DCB=90°．　　∵∠D＝∠A，∠BCM=∠A，　　∴∠BCM=∠D．∴∠BCM+∠DCB=90°．即∠MCO=90°．　　∴MN⊥OC，∴MN是⊙O的切线．　　说明：切线的判定定理的题设中包含着两条：　　(1)直线与圆存在有公共点(公共点的存在性)；　　(2)直线垂直于过公共点的半径(公共点的唯一性)．　　这两者缺一不可，如果具备(1)，只需证(2)(在这种情况下选用判定定理是最佳的选择)；如果两条都不具备，则两条都需证．　　求证：以EF为直径的圆与AB相切．　　分析：已知中没有给出直线与圆存在公共点，这时采用判定方法二，第一步只需作出圆心O到直线AB的距离OG，第二次仅需证明OG等于⊙O的半径这一点即可，且由已知不难证出这一点．n　　证明：取EF的中点O，作OG⊥AB于G．　　∵CD⊥AB，∴CD∥OG．　　　　　　∴AB是以EF为直径的圆的切线．　　说明：此题如果采用判定定理，则务必证两点：(1)先证出直线与圆存在公共点；(2)证直线垂直于过公共点的半径．而(1)又可分为两种不同的情形：其一，是证直线上有一点在圆上；其二，是证圆上有一点在直线上．不难判断证此题只有采用“其一”是可行的．而能准确地判断出直线上的哪一点能是圆上的点是关键．如果直线与圆只能有一个公共点，那么这一点只能是过圆心向直线AB引垂线段的垂足G，因而也只需证垂足G在圆O上．　　证法同上．　　由上述分析，判定定理又可具体的分成两种不同的情况．　　第一种，证：(1)直线上的点在圆上；(2)直线垂直于过公共点的半径．　　第二种，证：(1)圆上的一点在直线上；(2)直线垂直于过公共点的半径．而第一种情况的实质就是判定方法二，所不同的只是在形式上把判定方法二分两步完成，显然它比方法二麻烦，因此，在证明已知中没有给出直线与圆存在公共点这类问题时，应先考虑用判定方法二，能用判定方法二的不用判定方法三．　　例4如图4，已知O是△ABC的外接圆的圆心，过O作DE∥AB，交过B点的切线于E，交AC于D，过O点作OF∥CA．交过C点的切线于F，连接EF．　　求证：EF是⊙O的切线．n　　分析：与例3的已知条件相同,所以我们应先考虑判定方法二.即过圆心O作OG⊥EF于G,然后证OG等于⊙O的半径(OB)，而证OG=OB，需证△OBE≌△OGE，证　　这样，我们就只有考虑用判定方法三的第二种情况证明此题，即在圆上找一点证它在直线．受上述分析的启发，我们不妨先使A、O、G三点共线，并使G点在圆上．即连接AO，并延长交⊙O于C，然后证明G点在直线EF上即证∠EGF=180°．　　而我们不难证出∠EGF＝80°．　　证明：连接AO并延长交⊙O于G，连结OB、OC．