2020版高中数学章末检测试卷（三）（a）（含解析）新人教b版必修3 9页

章末检测试卷(三)(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列事件中，随机事件的个数是()①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；2④若x∈R，则x≥0.A．1B．2C．3D．4答案B解析①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是()1111A.B.C.D.2364答案AM31解析总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝.N623．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案A解析由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．4．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是()1111A.B.C.D.2345答案C解析所有的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，∴两1胎均是女孩的概率为.4n5．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是()ππ1πA.B．1－C.D.4443答案B解析如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A，B，C，D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．212则阴影部分的面积是4－4××π×2＝16－4π，416－4ππ所以所求概率是＝1－.1646．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是()11A．P(M)＝，P(N)＝3211B．P(M)＝，P(N)＝2213C．P(M)＝，P(N)＝3413D．P(M)＝，P(N)＝24答案D解析U＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，13M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝.247．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概4率为，则河宽为()5A．100mB．80mC．50mD．40m答案Ax4解析因为河宽为xm，则1－＝，∴x＝100.5005xx218．在区间[－1,4]内取一个数x，则2≥的概率是()4n1123A.B.C.D.2355答案D21xx2解析不等式2≥，可化为x－x－2≤0，4则－1≤x≤2，2－－13故所求概率为＝.4－－159．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为()1111A.B.C.D.3425答案C解析由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其1面积平分，如图，故所求概率为.210．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为()73A.B.101032C.D.55答案A解析建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形ABCD内，所以所求事件的概率为S梯形ABCD7P＝＝.S矩形ABCE1011．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()31A.B.10511C.D.1020n答案C解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方法．能成为勾股数的只有3,4,5一组，1∴P＝.1012．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是()A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张答案A解析由题意，为了决出胜负，最多再比赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，3于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．所以甲获胜概率为，41乙获胜概率为.431所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选A.44二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)113．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a＝________.7答案1831解析∵＝，∴a＝18.3＋a714．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表9演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．20答案120解析设男教师为n人，则女教师为(n＋12)人，n9∴＝.∴n＝54，2n＋1220∴参加联欢会的教师共有120人．15．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．1答案15n解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本1事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为.1516．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪B发生的概率为________．(B表示B的对立事件)2答案3解析事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B表示“大于等于5的点出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与B是互斥的，故P(A∪B)112＝P(A)＋P(B)＝＋＝.333三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；m＋n－1≤0，(2)实数m，n满足条件－1≤m≤1，求函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、三象限的概－1≤n≤1，率．解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个，设“使函数为增函数的事件”为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，63(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个，所以P(A)＝＝.105m＋n－1≤0，(2)m，n满足条件－1≤m≤1，的区域如图所示．－1≤n≤1要使函数的图象过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，121∴所求事件的概率为P＝＝.77218．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，n否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况，51∴P(A)＝＝.255(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．因为和为偶数的基本事件数为13，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．1312所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.2525所以这种游戏规则不公平．19．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993n(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树形图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共424种，故所求概率P＝＝.18920．(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，5010由题意得＝，所以n＝2000.n100＋300则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，400a由题意得＝，即a＝2.10005因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，nB1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．77故P(E)＝，即所求概率为.10101(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.8设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件为：9.4,8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，633共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.84421．(12分)M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”的概率是多少？解(1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5.168＋177＋178＋185＋186＋192女生成绩的平均数x＝＝181.65(2)用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝201.4根据茎叶图，“甲部门”有8人，“乙部门”有12人．11所以选中的“甲部门”的有8×＝2(人)，“乙部门”的有12×＝3(人)．44记选中的“甲部门”的为A1，A2，选中的“乙部门”的为B，C，D.从这5人中选2人的所有可能情况为(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．其中至少有一人是“甲部门”的结果有7种．7因此，至少有一人是“甲部门”的概率是.10n22．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.22(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切的概率；(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．解先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．22(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切，522∴＝1，整理，得a＋b＝25.22a＋b由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况．2221∴直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切的概率是＝.3618(2)∵三角形的一条边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14(个)．147∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.3618