2020版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题（第2课时）函数最值的应用学案北师大版 16页

第2课时　函数最值的应用学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题．知识点一　生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．知识点二　导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决．1．用导数解决实际问题的关键是建立函数模型．(　√　)2．恒成立问题可以转化成函数的最值问题．(　√　)3．用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.(　√　)题型一　几何中的最值问题例1　如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？考点　几何类型的优化问题题点　面积的最值问题n解　设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏的面积之和为2(x－20)·＝18000，由此得y＝＋25.广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，∴S′＝＋25＝＋25.令S′>0，得x>140，令S′<0，得200；当x∈时，V′(x)<0，所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值，V＝a×2－×3＝a3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大容积为a3.题型二　实际生活中的最值问题命题角度1　利润最大问题例2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中30，f(x)为增函数．故x＝5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)＝＋6×5＝70.故当隔热层修建厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．反思感悟　费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．题型三　与最值有关的恒成立问题例4　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．反思感悟　解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)＝1.因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，故a的取值范围为(－∞，1]．损耗最少问题典例　已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(80)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·＝(80，y为增函数．故当v＝16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数．故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．[素养评析]　(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升.1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题答案　C解析　∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，∴当x∈(0,9)时，y′>0，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增加后减少．∴当x＝9时函数取最大值，故选C.2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)A．6时B．7时C．8时D．9时考点　函数类型的优化问题题点　有关函数类型的其他问题答案　Cn解析　y′＝－t2－t＋36＝－(t2＋4t－96)＝－(t＋12)(t－8)，当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′<0，故t＝8时，y取最大值．3．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题答案　4解析　设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋(a>0)．令S′＝2a－＝0，得a＝8.当08时，S′>0，故当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题答案　160解析　设底面长为x，由题意得底面宽为.设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×，即y＝20x＋＋80，y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.∴当x＝2时，ymin＝160(元)．5．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．考点　函数最值的应用题点　恒成立中参数的取值范围n答案　20解析　由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝1，由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，∴t≥20，故tmin＝20.1．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确给出函数表达式．(2)与实际问题相联系．(3)必要时注意分类讨论思想的应用．2．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8B.C．－1D．－8考点　函数类型的优化问题题点　有关函数类型的其他问题答案　C解析　原油温度的瞬时变化率f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为(　　)A．2,6B．4,4C．3,5D．以上都不对考点　函数类型的优化问题题点　函数类型的其他问题答案　B解析　设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和为y＝x3＋(8－x)3n＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40，所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4,4.3．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为(　　)A.B.C.D．2考点　几何类型的优化问题题点　面积的最值问题答案　C解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.可判断得当x＝时，直棱柱的表面积最小．4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm3考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题答案　B解析　设水箱底边长为xcm，则水箱高h＝60－(cm)，水箱容积V(x)＝x2h＝60x2－(00)，每月库存货物的运费y2＝k2x(k2>0)，其中x是仓库到车站的距离，于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋.令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为p，销售量为q，且销售量q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q＝8300－170p－p2n，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)A．30元B．60元C．28000元D．23000元考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题答案　D解析　由题意知毛利润w＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000，w′＝－3p2－300p＋11700，令w′＝0，得p＝30或p＝－130(舍)．∵只有唯一一个极值点，且是极大值点，∴当p＝30时，wmax＝23000元．8．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是(　　)A．m≥B．m>C．m≤D．m<考点　函数最值的应用题点　恒成立中参数的取值范围答案　A解析　∵f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f(x)min＝f(3)＝3m－，由f(x)＋9≥0恒成立，得f(x)≥－9恒成立，即3m－≥－9，∴m≥.二、填空题9．已知函数f(x)＝2lnx＋(a＞0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　[e，＋∞)解析　由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2lnx.n设g(x)＝2x2－2x2lnx，则g′(x)＝2x(1－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)，因为当0＜x＜时，g′(x)＞0；当x＞时，g′(x)＜0.所以当x＝时，g(x)取得最大值＝e，故a≥e.10．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为________．考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题答案　3π解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3，则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0(舍)或r＝，∴r＝是其唯一的极值点，当00；当2－a对实数x∈[－1，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．答案　解析　设f(x)＝x3－x2，令f′(x)＝3x2－9x＝0，得x＝0或x＝3.当－1≤x<0时，f′(x)>0；当03时，f′(x)>0，所以当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝－，又f(－1)＝－>－，所以f(x)的最小值为－，n从而f(x)min＝－>2－a，所以a>.三、解答题12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km/h，则火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解　设速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a.由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，∴f(x)＝a.令f′(x)＝＝0，得x＝10.当00.∴当x＝10时，f(x)有最小值，即速度为10km/h时，总费用最少．13．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴∴(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值c＋5↘极小值c－27↗n而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．14．已知函数f(x)＝x3－x2－4x＋1，直线l：x＋y＋2k－1＝0，当x∈[－3,3]时，直线l恒在函数f(x)图像的下方，则实数k的取值范围是(　　)A．k>－B．k<－C．k考点　函数最值的应用题点　恒成立中参数的取值范围答案　D解析　命题等价于当x∈[－3,3]时，－(－x－2k＋1)>0恒成立，即k>－x3＋x2＋x.设g(x)＝－x3＋x2＋x，则g′(x)＝－x2＋x＋＝(3－x)(1＋x)．由g′(x)>0，得－1.15.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其n表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题解　(1)因为容器的体积为立方米，所以＋πr2l＝，解得l＝－.所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr＝－，两端两个半球的表面积之和为4πr2，所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.又l＝－>0⇒r<，所以定义域为．(2)因为y′＝－＋16πr＝，所以令y′>0，得2