八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数综合讲义 11页

一次函数分段函数：（1）分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线.（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求函数解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.探究类型之行程问题中的分段函数例：周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1时后达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1时50分后，妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．练习：1.周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5h后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1h20min后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；n（2）小明从家出发多久后被妈妈追上？此时离家多远？2.小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分，到达学校的时间是7：55，为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？（2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问：①小刚到家的时间是下午几时？②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.探究类型之天然气（或水费）中的分段函数例：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源.某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费______元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3）,y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；n（3）在（2）的条件下，若乙用户2.3月份共用气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2.3月份的用气量各是多少？练习：为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图请根据图象回答下列问题：当用电量是180千瓦时时，电费是_________元；（2）第二档的用电量范围是______________；（3）“基本电价”是____________元/千瓦时；探究类型之检票口中的分段函数例：“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示.（1）求a的值．n（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？(2)、主要知识点：一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限当b＜0时，直线必通过三、四象限。　　y=kx+b时：n　　当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。　　当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。　　当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。　　当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4.特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A.B的一次函数的表达式。　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。　　（4）最后得到一次函数的表达式。【类型一】利用一次函数的定义1.当m为何值时，函数是一次函数？练习：①当m＝______时，是一次函数。　　　②已知函数，当=_____时，它是一次函数；当＝______时，它是正比例函数.考点1：一次函数的概念.相关知识：一次函数是形如（、为常数，且）的函数，特别的当时函数为，叫正比例函数.【例题】n1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=2x-1B．y=C．y=2x2D．y=-2x+12.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_________．3.已知一次函数+3,则=.4.函数，当m=，n=时为正比例函数；当m=，n时为一次函数．考点2：一次函数图象与系数相关知识：一次函数的图象是一条直线，图象位置由k、b确定，直线要经过一、三象限，直线必经过二、四象限，直线与y轴的交点在正半轴上，直线与y轴的交点在负半轴上.【例题】1.直线y=x－1的图像经过象限是()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2.一次函数y=6x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.一次函数y=-3x+2的图象不经过第象限.4.一次函数的图象大致是（）5.关于x的一次函数y=kx+k2+1的图像可能是（）6.已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（）.nA.-2B.-1C.0D.27.若一次函数的图像经过一、二、四象限，则m的取值范围是．8.已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m、n的取值范围是（）A.m＞0,n＜2B.m＞0,n＞2C.m＜0,n＜2D.m＜0,n＞29．已知关于x的一次函数的图象如图所示，则可化简为____.如果一次函数y=4x+b的图像经过第一、三、四象限，那么b的取值范围是________考点3：一次函数的增减性相关知识：一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小.规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，经过二、四象限，y随x的增大而减小.【例题】1.写出一个具体的随的增大而减小的一次函数解析式2.一次函数y=-2x+3中，y的值随x值增大而_______.(填“增大”或“减小”)3.已知关于x的一次函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=_____;若y随x的增大而减小,则k的取值范围是________.4.若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知点A（－5，a），B(4，b)在直线y=-3x+2上，则ab。（填“＞”、“＜”或“=”号）n6.当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（）．A．y≥－7B．y≥9C．y＞9D．y≤9考点4：函数图象经过点的含义相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。【例题】1.已知直线经过点和，则的值为（）.A．B．C．D．2.坐标平面上，若点(3,b)在方程式的图形上，则b值为何？A．－1B．2C．3D．93.一次函数y=2x－1的图象经过点（a，3），则a=．4．在平面直角坐标系中，点P(2，)在正比例函数的图象上，则点Q()位于第_____象限．5.直线y=kx-1一定经过点（）．A．（1，0）B．（1，k）C．（0，k）D．（0，-1）考点5：图象的平移在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（）A．y=x+1B.y=x-1C.y=xD.y=x-22.将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（）A.B.C.D.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A.B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，ABCOyx线段BC扫过的面积为（）A．4B．8C．16D．n考点7：函数图象与不等式（组）相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。【例题】1.如图5，直线:与直线相交于点P，则关于的不等式≥的解集为。（图6）2.如图6，直线y＝kx＋b经过A(－1，1)和B(－，0)两点，则不等式0＜kx＋b＜－x的解集为_．考点8：一次函数解析式的确定【例题】1．已知y+m与x+n成正比例（m，n为常数）。试说明y是x的一次函数当x=-3时，y=5,当x=2时，y=2，求y与x之间的函数关系式。2.已知Y与X成正比例,Z与X成正比例,当Z=3时,Y=-1;当X=2/3时,Z=4,则Y与X的函数关系式为?n考点9：与一次函数有关的几何探究问题(动点)【例题】1.如图6，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点将图6绕点顺时针旋转90后得到.（1）求直线的解析式；（2）若直线与直线相交于点，求的面积.2.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；AyOBx（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.n3.如图，直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象．（1）求A.B.P三点的坐标；（2）求四边形PQOB的面积；4.如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上，一点P从B点运动到C点，设BP=x，四边形APCD的面积为y.ABCDP⑴写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围；⑵说明是否存在点P，使四边形APCD的面积为1.5？