2020版高考数学复习第五单元第28讲等差数列及其前n项和练习理新人教a版 5页

第28讲等差数列及其前n项和1.[2018·济南质检]在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于(　　)A.-1B.0C.1D.62.[2018·日照模拟]由公差为d的等差数列a1,a2,a3,…组成的新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…是(　　)A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为3d的等差数列D.非等差数列3.[2018·宁德一模]若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于(　　)A.54B.50C.27D.254.[2018·辽宁丹东模拟]等差数列{an}中,a3=-a1,a5=6,则a7的值为　　　　. 5.[2018·广东惠州模拟]已知数列{an}对任意的m,n∈N*,都有am+an=am+n,若a1=2,则a2018=　　　　. 6.[2018·安徽江南十校联考]已知数列{an}是等差数列,a3+a13=20,a2=-2,则a15=(　　)A.20B.24C.28D.347.[2018·湖北黄冈中学三模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a10=15,且S2=S7,则a8=(　　)A.6B.7C.8D.98.[2018·河南郑州外国语学校调研]在等差数列{an}中,已知a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则{an}的前10项和S10=(　　)A.-18B.9C.18D.209.[2018·安徽六安一中模拟]已知首项为正数的等差数列an的前n项和为Sn,若a1008和a1009是方程x2-2017x-2018=0的两个根,则使Sn>0成立的正整数n的最大值是(　　)A.1008B.1009C.2016D.201710.[2018·南昌质检]已知各项均为正数的递增数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2,bn=anan+t(tn∈N*),且b1,b2,bm成等差数列,则tm的最大值为(　　)A.27B.35C.38D.5411.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　. 12.[2018·湖北孝感七校联考]我国古代数学名著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:需　　　　日相逢? 13.[2018·南阳一中模拟]已知数列{an}的前n项和Sn=pn2-2n,bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n,若数列{bn}是公差为2的等差数列,则数列{an}的通项公式为　　　　. 14.[2018·江苏盐城中学模拟]已知正项数列{an}的前n项和为Sn,其中Sn=λan+μ.(1)若a1=2,a2=6,求数列{an}的通项公式;(2)若a1+a3=2a2,求证:{an}是等差数列.15.[2018·北京海淀区模拟]已知{an}是各项均为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且4Sn=(an+1)2.(1)求a1,a2的值及{an}的通项公式;(2)求数列Sn-72an的最小值.16.[2018·上饶部分重点中学联考]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3(m≥2),则m=　　　　. 17.[2018·保定一模]设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{Sn}也为等差数列,则Sn+10an2的最大值是　　　　. n课时作业(二十八)1.B　[解析]因为数列{an}是等差数列,a2=4,a4=2,所以2a4=a2+a6=4,所以a6=0.故选B.2.B　[解析]设新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…的第n项是bn,则bn=an+an+3=2a1+(n-1)d+(n+2)d=2a1+(2n+1)d,∴bn+1-bn=2d,∴新数列是以2d为公差的等差数列.故选B.3.C　[解析]数列{an}为等差数列,设公差为d,则a4=a2+2d,∴a2=3(a2+2d)-6,∴2a2+6d-6=0,∴a2+3d=3,即a5=3,则S9=(a1+a9)×92=9a5=27.故选C.4.10　[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意得a1+a3=2a1+2d=0,a5=a1+4d=6,解得a1=-2,d=2,∴a7=a1+6d=-2+6×2=10.5.4036　[解析]令m=1,可得a1+an=an+1,则an+1-an=2,∴{an}为等差数列,首项和公差均为2,∴an=2+2(n-1)=2n,∴a2018=4036.6.B　[解析]由已知,得a3+a13=2a8=20,∴a8=10,又a2=-2,∴公差d=2,∴a15=a2+13d=-2+13×2=24.7.D　[解析]设等差数列{an}的公差为d,由a10=15,S2=S7,可得a1+9d=15,2a1+d=7a1+21d,解得a1=-12,d=3,∴a8=a1+7d=-12+21=9.故选D.8.D　[解析]∵等差数列{an}中,a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,∴a4+a7=4,∴{an}的前10项和S10=10(a1+a10)2=10(a4+a7)2=5×4=20.故选D.9.C　[解析]依题意知a1008+a1009=2017>0,a1008a1009=-2018<0,又数列{an}的首项为正数,∴a1008>0,a1009<0,∴S2016=(a1+a2016)×20162=(a1008+a1009)×20162>0,S2017=(a1+a2017)×20172=2017a1009<0,∴使Sn>0成立的正整数n的最大值是2016,故选C.10.D　[解析]Sn=n2,Sn-1=(n-1)2(n≥2),两式作差得到an=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=1,也符合上式,故an=2n-1,则a2=3,am=2m-1,∴b1=a1a1+t=11+t,b2=a2a2+t=33+t,bm=2m-1t+2m-1.由b1,b2,bm成等差数列,得b1+bm=2b2,即6t+3=11+t+2m-1t+2m-1,整理得m=3+4t-1,∵t,m∈N*,∴当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.∴tm的最大值为54.故选D.11.60　[解析]∵S10,S20-S10,S30-S20构成等差数列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=10+2×(20-10)=30,∴S30=60.12.9　[解析]设良马与驽马第n天跑的路程分别为an,bn,由题意有an=103+(n-1)×13=13n+90,bn=97+(n-1)×-12=-12n+9712,令cn=an+bn=18712+1212n,当满足题意时,数列{cn}的前n项和Sn=1125×2=2250,由等差数列前n项和公式可得(18712+1212)+(18712+1212n)2×n=2250,得n=9,即需9日相逢.n13.an=3n-72　[解析]由Sn=pn2-2n可知,当n=1时,a1=p-2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2pn-p-2,a1=p-2符合上式,所以对任意的n∈N*均有an=2pn-p-2,则an+1-an=2p,所以数列{an}是公差为2p的等差数列,所以a2=3p-2.b1=a1=p-2,b2=a1+2a21+2=7p-63,则b2-b1=7p-63-(p-2)=2,得p=32,所以a1=-12,所以数列{an}的通项公式为an=-12+(n-1)×2×32=3n-72.14.解:(1)根据题意,有2=2λ+μ,22=6λ+μ,解得λ=24,μ=22,故Sn=18(an+2)2,当n≥2时,有Sn-1=18(an-1+2)2,两式相减得(an+an-1)(an-an-1)=4(an+an-1)(n≥2),又an>0恒成立,所以an-an-1=4(n≥2),所以数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列,故an=4n-2.(2)证明:根据题意,有a1=(λa1+μ)2①,a1+a2=(λa2+μ)2②,a1+a2+a3=(λa3+μ)2③,因为a1+a3=2a2,所以可设a3-a2=a2-a1=d,②-①得a2=(λa1+λa2+2μ)·λd④,③-②得a3=(λa2+λa3+2μ)·λd⑤,⑤-④得d=2λ2d2,当d=0时a2=0,不满足题意,故舍去,则有λ2=12d,代入④式得4λμ=1,易知λ≠0,结合①式得a1=d2.所以Sn=λ2an2+2λμan+μ2=12dan2+12an+d8,当n≥2时有Sn-1=12dan-12+12an-1+d8,两式相减得an=12d(an2-an-12)+12(an-an-1),整理得(an+an-1)(an-an-1-d)=0(n≥2).又an>0恒成立,所以an-an-1=d(n≥2),所以{an}是d2为首项,d为公差的等差数列.15.解:(1)因为4Sn=(an+1)2,所以当n=1时,4a1=(a1+1)2,解得a1=1,当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,解得a2=-1或a2=3,因为{an}是各项均为正数的等差数列,所以a2=3,所以{an}的公差d=a2-a1=2,所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)因为4Sn=(an+1)2,所以Sn=(2n-1+1)24=n2,所以Sn-72an=n2-72(2n-1)=n2-7n+72=n-722-354,又n∈N*,所以当n=3或n=4时,Sn-72an取得最小值-172.n16.5　[解析]∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列Snn也为等差数列,∴Sm-1m-1+Sm+1m+1=2Smm(m≥2),即-2m-1+3m+1=0,解得m=5.17.121　[解析]设数列{an}的公差为d,由题意得2S2=S1+S3,所以22a1+d=a1+3a1+3d,化简可得d=2a1=2,所以an=1+(n-1)×2=2n-1,Sn=n+n(n-1)2×2=n2,所以Sn+10an2=(n+10)2(2n-1)2=n+102n-12=12(2n-1)+2122n-12=141+212n-12.又易知数列1+212n-12为递减数列,所以Sn+10an2≤S11a12=112=121.