2020版高考数学复习第八单元第48讲直线与圆锥曲线的位置关系练习理新人教a版 6页

第48讲直线与圆锥曲线的位置关系1.已知a>0,b>0,则直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1的交点个数是(　　)A.1B.2C.1或2D.02.已知圆M过定点(2,0),且圆心M在抛物线y2=4x上运动,若y轴被圆M所截得的弦为AB,则|AB|=(　　)A.4B.3C.2D.与点M的位置有关3.已知点P是椭圆x25+y2=1上任意一点,F为椭圆的右焦点,Q(3,0),且|PQ|=2|PF|,则满足条件的点P的个数为(　　)A.4B.3C.2D.04.直线l:y=k(x-2)与双曲线x2-y2=1右支相交于A,B两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　. 5.与抛物线y2=x有且仅有一个公共点,并且过点(1,1)的直线方程为　　　　　　. 6.已知抛物线C:y2=4x,若过点P(-2,0)作直线与抛物线C交于A,B两点,且直线的斜率为k,则k的取值范围是(　　)A.-22,0∪0,22B.-22,22C.-32,32D.-32,0∪0,327.[2018·江西上饶模拟]已知直线l过点P(3,-2)且与椭圆C:x220+y216=1相交于A,B两点,则使得P为弦AB中点的直线的斜率为(　　)A.-35B.-65C.65D.358.[2018·山东聊城一模]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F2到渐近线的距离为4,且在双曲线C上到点F2的距离为2的点有且仅有1个,则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为(　　)A.2B.4C.6D.89.若AB是过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且直线AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM=(　　)A.-c2a2B.-b2a2nC.-c2b2D.-a2b210.[2018·贵州黔东南州一联]把离心率e=5+12的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.若以原点O为圆心,虚半轴长为半径画圆,则圆O与黄金双曲线C(　　)A.无交点B.有1个交点C.有2个交点D.有4个交点11.[2018·江西六校联考]若抛物线x2=2py(p>0)在点(1,2)处的切线也与圆x2+y2-2x+2y+2-a=0(a>0)相切,则实数a的值为　　　　. 12.[2018·安徽皖南八校联考]已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=11,则|AB|=　　　　. 13.设x∈R,y∈R,i,j分别为平面直角坐标系xOy内x,y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,且|a|+|b|=6.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点(0,1)作直线l与曲线C交于A,B两点,若点P满足OP=OA+OB,问是否存在直线l使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.14.[2018·黑龙江齐齐哈尔二模]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.15.[2018·辽宁大连模拟]已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P,设P点的坐标为(x0,y0),若l1⊥l2,则下列结论中不正确的是(　　)A.x023+y022>1B.x023+y022<1nC.3x02+2y02>1D.x03+y02<116.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(b>a>0)的右焦点为F,O为坐标原点,若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,使OA·OB=0,则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　　. 课时作业(四十八)1.A　[解析]因为直线y=bax+3与双曲线的渐近线y=bax平行,所以它与双曲线只有1个交点.2.A　[解析]设圆心坐标为a24,a,因为圆M过定点(2,0),所以其半径r=(a24-2) 2+(a-0)2,可知圆M的方程为x-a242+(y-a)2=a24-22+(a-0)2,令x=0,可得y2-2ay+a2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可知y1+y2=2a,y1y2=a2-4,则|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4a2-4a2+16=4,故选A.3.C　[解析]设P(x,y),则-51,而直线l的斜率存在,所以α∈π4,π2∪π2,3π4.5.x-2y+1=0或y=1　[解析]易知所求直线的斜率存在,设过点(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1,与抛物线方程y2=x联立,得k2x2+(2k-2k2-1)x+k2-2k+1=0.当k=0时,方程有一个解,此时所求直线方程为y=1;当k≠0时,由Δ=(2k-2k2-1)2-4k2(k2-2k+1)=0,整理得4k2-4k+1=0,解得k=12,此时所求直线方程为x-2y+1=0.故所求的直线方程为x-2y+1=0或y=1.6.A　[解析]易知直线的方程为y=k(x+2),与抛物线方程y2=4x联立,得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.当k=0时,不符合题意;当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<12,∴k∈-22,0∪0,22.综上可知,k的取值范围是-22,0∪0,22,故选A.7.C　[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知x1≠x2,可得x1220+y1216=1,x2220+y2216=1,两式作差得x12-x2220+ny12-y2216=0,即(x1+x2)(x1-x2)20+(y1+y2)(y1-y2)16=0.又因为x1+x2=6,y1+y2=-4,y1-y2x1-x2=kAB,所以620+-416·kAB=0,所以kAB=65,故选C.8.D　[解析]易知双曲线的焦点到渐近线的距离为b,所以b=4.双曲线C上到点F2的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为2,故c-a=2,由c2=a2+b2=a2+16,解得c=5,a=3,所以右顶点到左焦点的距离为a+c=3+5=8,故选D.9.B　[解析]设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),故kAM·kBM=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2x02+b2+b2a2x12-b2x02-x12=-b2a2.10.D　[解析]由题意知5+12=ca,所以ba2=ca2-1=6+254-1=5+12,因为ba2=5+12>1,所以ba>1,所以b>a,所以圆O与黄金双曲线C的左、右两支各有2个交点,即圆O与黄金双曲线C有4个交点,故选D.11.917　[解析]由抛物线x2=2py(p>0)过点(1,2),可得p=14,∴抛物线方程为x2=12y,可化为y=2x2,从而由y'=4x知切线斜率k=4,∴切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.∵圆的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=a(a>0),且切线也与圆相切,∴|4-(-1)-2|17=a,得a=917.12.6　[解析]根据题意可知直线l的斜率存在,抛物线的焦点坐标是(1,0),设直线l:y=k(x-1),将直线方程与抛物线方程联立,消元后可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,y1+y2=k(x1+x2)-2k=4k,从而可得Mk2+2k2,2k,易知E(-1,0),由|ME|=11,可得k2+2k2+12+4k2=11,解得k2=2,故|AB|=x1+x2+p=2+4k2+2=6.13.解:(1)由题意知,点M(x,y)到点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为6,且6>|F1F2|=2,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为x29+y28=1.(2)不存在满足题意的直线l.理由如下:易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,与x29+y28=1联立,得(9k2+8)x2+18kx-63=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-18k9k2+8,x1x2=-639k2+8.因为OP=OA+OB,所以四边形OAPB为平行四边形,若平行四边形OAPB为矩形,则OA⊥OB,所以OA·OB=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·-639k2+8-18k29k2+8+1=0,即-72k2=55,此方程无解,所以满足条件的直线l不存在.14.解:(1)设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.n(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y,消去y整理得x2-4kx-24=0,显然Δ=16k2+96>0.设Px1,x124,Qx2,x224,则x1+x2=4k,x1·x2=-24,抛物线在点Px1,x124处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,则点Rx12-42x1,-1,由Q,F,R三点共线得kQF=kFR,∴x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=14,即k=±12,∴所求直线m的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.A　[解析]由题意可得椭圆的半焦距c=3-2=1,且由l1⊥l2可知点P(x0,y0)(x0≠±1)在以线段F1F2为直径的圆上,则x02+y02=1,∴x023+y022=2x02+3y026≤3x02+3y026=12,3x02+2y02≥2x02+2y02=2>1,故A的结论不正确,B,C的结论正确.∵F1(-1,0),F2(1,0),∴|x0|<1,|y0|<1,∴x03+y02≤|x0|3+|y0|2≤|x0|+|y0|2<1,故D的结论正确.故选A.16.5+12,3　[解析]①当直线l的斜率不存在时,不妨取Ac,b2a,Bc,-b2a,∵OA·OB=0,∴c2-b4a2=0,∴e=1+52;②当直线l的斜率存在时,焦点为F(c,0),设直线l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,则Δ=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=-2ca2k2b2-a2k2,x1x2=-a2k2c2-a2b2b2-a2k2,则y1y2=k2[x1x2+c2-c(x1+x2)]=k2·a2b2-b2c2a2k2-b2,∵OA·OB=0,∴x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=a2b2b4-a4-a2b2,又直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,∴a2b2b4-a4-a2b2>b2a2(b>a),∴b4-a4-a2b2>0,a4>b4-a4-a2b2,b>a,∴3>e>1+52.综上,双曲线的离心率的取值范围是5+12,3.n