2020版高考数学复习第十三单元第65讲参数方程练习理新人教a版 5页

第65讲　参数方程1.[2018·辽宁五校联考]已知直线l过点P(2,1),倾斜角为135°,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,单位长度与直角坐标系xOy的单位长度相同,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)分别写出圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,求|PA|+|PB|.2.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)求曲线C的参数方程及直线l的普通方程;(2)求曲线C上任一点P到直线l的距离的最大值和最小值.3.[2018·南昌三中期末]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-22t,y=1+22t(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与直线l交于A,B两点,若点P的坐标为(1,1),求|PA|+|PB|的值.4.在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为x=3+tcosα,y=tsinα(t为参数),直线l与曲线C:x=1cosθ,y=tanθ(θ为参数)相交于不同的两点A,B.(1)若α=π3,求线段AB的中点的直角坐标;(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|·|PB|的值.5.[2018·广州二模]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3-t,y=1+t(t为参数).n在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=22cosθ-π4.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=2+2sinθ(θ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程;(2)设点M的极坐标为2,π4,过点M的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|MA|=2|MB|,求弦长|AB|.7.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),直线l过定点(-2,2),且斜率为-12.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的普通方程以及直线l的参数方程;(2)点P在曲线C上,当θ∈π12,5π12时,求点P到直线l的最小距离并求点P的坐标.8.[2018·武昌调研]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=acost,y=2sint(t为参数,a>0).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+π4=-22.(1)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最小值;(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.n课时作业(六十五)1.解:(1)∵直线l过点P(2,1),倾斜角为135°,∴l的参数方程为x=2-22t,y=1+22t(t为参数).∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,∴转化成直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.(2)由已知得直线l的直角坐标方程为y-1=(-1)×(x-2),整理得x+y-3=0.圆心(2,0)到直线x+y-3=0的距离d=|2-3|2=22,则|PA|+|PB|=|AB|=2×22-(22) 2=14.2.解:(1)由题意知,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)设曲线C上任一点P(2cosθ,3sinθ),则点P到l的距离d=55|4cosθ+3sinθ-6|=55|5sin(θ+α)-6|,其中tanα=43.当sin(θ+α)=-1时,d取得最大值1155;当sin(θ+α)=1时,d取得最小值55.3.解:(1)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,即ρ2sin2θ=4ρcosθ.把ρsinθ=y,ρcosθ=x代入上式可得y2=4x,∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)由题意知,直线l经过点P(1,1).把直线l的参数方程x=1-22t,y=1+22t(t为参数)代入抛物线方程整理得t2+62t-6=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-62,t1t2=-6,∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=46.4.解:(1)由曲线C:x=1cosθ,y=tanθ(θ为参数),可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.当α=π3时,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=6,所以线段AB的中点对应的参数t=t1+t22=3,n故线段AB的中点的直角坐标为92,332.(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(cos2α-sin2α)t2+6tcosα+8=0,则|PA|·|PB|=|t1t2|=8cos2α-sin2α=8(1+tan2α)1-tan2α,由已知得tanα=2,故|PA|·|PB|=403.5.解:(1)由x=3-t,y=1+t(t为参数)消去t得x+y-4=0,所以直线l的普通方程为x+y-4=0.由ρ=22cosθ-π4=22cosθcosπ4+sinθsinπ4=2cosθ+2sinθ,得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2,所以曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)设曲线C上的点P(1+2cosα,1+2sinα)(α为参数),则点P到直线l的距离d=|1+2cosα+1+2sinα-4|2=|2(sinα+cosα)-2|2=|2sin(α+π4)-2|2.当sinα+π4=-1时,dmax=22.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22.6.解:(1)∵曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=2+2sinθ(θ为参数),∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,∴化为极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=0,即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)由题可知,点M的直角坐标为(1,1),设直线l的参数方程是x=1+t·cosα,y=1+t·sinα(t为参数)①,由(1)知曲线C的直角坐标方程是x2+y2-4y=0②,①②联立,得t2+2(cosα-sinα)t-2=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,∴t1t2=-2.∵|MA|=2|MB|,∴t1=-2t2,则t1=2,t2=-1或t1=-2,t2=1,∴弦长|AB|=|t1-t2|=3.7.解:(1)由题意知,曲线C的普通方程为x24+y23=1.设直线l的倾斜角为α,因为直线l的斜率为-12,所以tanα=-12,n又sin2α+cos2α=1,解得sinα=55,cosα=-255,故直线l的参数方程为x=-2-255t,y=2+55t(t为参数).(2)设点P(2cosθ,3sinθ),θ∈π12,5π12.由(1)易知直线l:x+2y-2=0,则点P到直线l的距离d=|2cosθ+23sinθ-2|5=|4sin(θ+π6)-2|5.因为θ∈π12,5π12,所以θ+π6∈π4,7π12,当且仅当θ+π6=π4,即θ=π12时,P到直线l的距离最小,dmin=|4sinπ4-2|5=22-25.此时2cosπ12=6+22,3sinπ12=32-64,所以点P的坐标为6+22,32-64.8.解:(1)由ρcosθ+π4=-22,得22(ρcosθ-ρsinθ)=-22,化成直角坐标方程为22(x-y)=-22,即直线l的直角坐标方程为x-y+4=0.依题意,设P(2cost,2sint),则点P到直线l的距离d=|2cost-2sint+4|2=|22cos(t+π4)+4|2=22+2cost+π4.当cost+π4=-1时,dmin=22-2.故点P到直线l的距离的最小值为22-2.(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方,∴对t∈R,有acost-2sint+4>0恒成立,即a2+4cos(t+φ)>-4其中cosφ=aa2+4,sinφ=2a2+4恒成立,∴a2+4<4,又a>0,∴0