八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线线段垂直平分线的几种应用讲义北师大版 8页

线段垂直平分线的几种应用【名师点睛】线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系—垂直，数量关系—平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度。角的度数等，还可以解决试剂生活中的选址等问题。[类型1]线段垂直平分线的性质在求线段中的应用1.如图，△ABC中，AB.AC的垂直平分线交BC于点D. E，已知△ADE的周长为12cm，则BC=______.解答：∵DF、EG分别是线段AB.AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为12cm，即AD+DE+AE=12cm，∴BC=12cm.故答案为：12cm.2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D.若BC=2cm，求AD的长. 解答：连接BD，n∵DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD.∵∠A=15°，∴∠ABD=15°.在△BDC中，∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°.∵∠C=90°，BC=2cm，∴BD=2CD=4cm，∴AD=4cm.[类型2]线段垂直平分线的性质在求角中的应用3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=    °.解答：∵AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，∴∠ADE=∠EDB=40°，AE=BE，∴∠A=∠ABD=50°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=65°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°n，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角∠1，∠2，且∠1:∠2=2:5，求∠ADC的度数.解答：设∠1=2x，则∠2=5x.∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠2=5x，∴∠ADC=∠B+∠2=10x.∵∠C=90°，∴∠ADC+∠1=90°，即10x+2x=90°，∴x=7.5°，∴∠ADC=10x=75°.5.已知：如图，在△ABE中，AB，AE边上的垂直平分线m1，m2分别交BE于点C，D，且BC=CD=DE.（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）求∠BAE的度数.解答：（1）证明：∵m1，m2是AB.AE的垂直平分线，∴BC=AC，AD=DE.又∵BC=CD=DE，∴AC=CD=AD，n∴△ACD是等边三角形.（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°.∵BC=AC，AD=DE，∴∠ACD=2∠BAC，∠ADC=2∠EAD，∴∠BAC=∠EAD=30°，∴∠BAE=30°+30°+60°=120°.[类型3]线段垂直平分线的性质在实际中的应用6.如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？解答：如图，连接AB.BC，分别作AB.BC的垂直平分线DE.GF，两直线的交点M即为所求.[类型4]线段垂直平分线的判定在判断两线位置关系中的应用7.如图，AD为△ABC的角平分线，AE=AF，请判断线段AD所在的直线是否是线段EF的垂直平分线.如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.n解答：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.在△AED和△AFD中，∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴DE=DF，∴D在EF的垂直平分线上.∵AE=AF，∴A在EF的垂直平分线上，∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.[类型7]利用线段垂直平分线的性质探究角之间的变化规律8.如图①，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A=40°.（1）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°，求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；（3）你发现了什么样的规律？试证明你发现的规律；（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改？（不需说明理由）解答：（1）∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB.∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°.∵∠MNB=90°，∠ABM=70°，n∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°.（2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°，∴∠NMB=90°-55°=35°.（3）规律：∠NMB=∠A.理由如下：∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB.∴∠ABM=×(180°-∠A).∵∠ABM=×(180°-∠A)，∠BNM=90°，∴∠BMN=90°-∠ABM=∠A.（4）如果将∠A改为钝角，这个规律性的认识也无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所形成的锐角等于顶角的一半.[类型8]利用线段垂直平分线的判定证明线段的垂直平分线9.如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD.（1）八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BE，垂足为E，并且BE=ED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.解答：（1）王建同学的判断是正确的．理由：∵AB=AD，∴点A在BD的垂直平分线上．n∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上．∴AC为BD的垂直平分线，BE=DE，AC⊥BD．（2）由（1）得AC⊥BD．∴S四边形ABCD=S△CBD+S△ABD=BD·CE+BD·AE=BD·AC=ab．[类型9]利用线段垂直平分线的性质和判定探究线段垂直平分线的条件10.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：CF=AD；(2)若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上?为什么?解答：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠F=∠DAE.又∵∠FEC=∠AED，∴∠ECF=∠ADE，∵E为CD中点，∴CE=DE，在△FEC与△AED中，∵∠FEC=∠AED，CE=DE，∠ECF=∠ADE，∴△FEC≌△AED，∴CF=AD；(2)当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，其理由是：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD，n又∵CF=AD，BC+CF=BF，∴AB=BF，∴△ABF是等腰三角形，∴点B在AF的垂直平分线上。