八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线等腰三角形中四种常用作辅助线的方法学案北师大版 5页

等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【名师点睛】几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：“作三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系。[方法1]作“三线”中的“一线”1.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF.解答：证明：如图，连接AD.∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴DE=DF.[方法2]作平行线法2.如图，在△ABC中，AB=AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线n段AC的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD=QD；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.解答：（1）过P点作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠DQC.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ.∵∠PDF=∠QDC，PF=CQ，∠DPF=∠DQC，∴△PFD≌△QCD，∴PD=QD.（2）ED的长度保持不变.理由如下：n由（1）知PB=PF.∵PE⊥BF，∴BE=EF.由（1）知△PFD≌△QCD，∴FD=DC，∴ED=EF+FD=BE+DC=BC，∴ED为定值.[方法3]截长补短法3.已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60∘,∠ACD=60∘求证：BD+DC=AB.解答：证明：延长BD到F,使BF=BA,连接AF,CF,∵∠ABD=60度，∴△ABF为等边三角形，∴AF=AB=AC=BF,∠AFB=60∘，∴∠ACF=∠AFC，又∵∠ACD=60∘，∴∠AFB=∠ACD=60∘∴∠DFC=∠DCF，∴DC=DF.n∴BD+DC=BD+DF=BF=AB，即BD+DC=AB.4.如图,在△ABC中,∠BAC=120∘，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C.解答：在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90∘，在△ABD和△AED中，AD=AD，∠ADB=∠ADE，DB=DE，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，又AB+BD=CD，DE=BD，∴AB+DE=CD，而CD=DE+EC，∴AB=EC，∴AE=EC，故设∠EAC=∠C=x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x，∴∠B=2x,∠BAE=180∘−2x−2x=180∘−4x，∵∠BAC=120∘，∴∠BAE+∠EAC=120∘,即180∘−4x+x=120∘，解得：x=20∘，n则∠C=20∘.[方法4]加倍折半法5.如图，CE.CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证：CD=2CE.解答：证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，∵CE是中线，BF∥AC，∴AE=BE，∠A=∠ABF，∠ACE=∠F，在△ACE和△BFE中，∠A=∠ABF，∠ACE=∠F，AE=BE，∴△ACE≌△BFE(AAS)，∴CE=EF，AC=BF，∴CF=2CE，又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线，∴AC=AB=BD=BF，∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，∴∠DBC=∠FBC，在△DBC和△FBC中，DB=FB，∠DBC=∠FBC，BC=BC，∴△DBC≌△FBC(SAS)，∴DC=CF=2CE.