北京市昌平区新学道临川学校2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题文 24页

新学道临川学校2018-2019学年度第二学期第一次月考文科数学试题评卷人得分一．选择题（共12小题）1．某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（　　）A．32B．33C．41D．422．某单位有职工100人，30岁以下的有20人，30岁到40岁之间的有60人，40岁以上的有20人，今用分层抽样的方法从中抽取20人，则各年龄段分别抽取的人数为（　　）A．2，6，10B．4，12，4C．8，8，4D．12，14，153．甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（　　）A．2322B．2322.5C．2122D．2122.54．设某高中的男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣80.71，则下列结论中不正确的是（　　）A．y与x有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该高中某男生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该高中某男生身高为170cm，则可断定其体重必为63.79kg5．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③n不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是（　　）A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②6．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，则这组数据中众数的估计值是（　　）A．100B．101C．102D．1037．某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）A．随机数法B．分层抽样法C．抽签法D．系统抽样法8．节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为（　　）千万元（参考公式及数据：＝＝；＝﹣，（xin﹣）（yi﹣）＝1.7，﹣n＝10A．1.88B．2.21C．1.85D．2.349．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．02B．07C．01D．0610．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数为（　　）A．1B．2C．3D．411．已知数据x1，x2，x3的方差s2＝4，则x1+2，x2+2，x3+2的方差为（　　）A．4B．6C．16D．3612．已知样本7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据落在8.5～11.5的频率为（　　）A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2评卷人得分二．填空题（共4小题）13．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为　　．n14．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上收据可以估计该池塘有　　条鱼．15．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为　　（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100]之间的概率为　　．16．已知x与y之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系．x0246y12m+12﹣m3﹣m则y与x的回归直线方程必过定点　　．n评卷人得分三．解答题（共5小题）17．某企业有甲、乙两条生产线生产同种产品，现随机从这两条生产线上各抽取20件产品检测质量（单位：克），质量值落在（15，25]，（55，65]的产品为三等品，质量值落在（25，35]，（45，55]的产品为二等品，质量值落在（35，45]的产品为一等品．下表为从两条生产线上各抽取的20件产品的质量检测情况，将频率视为概率，从甲生产线上随机抽取1件产品，为二等品的概率为0.2．产品质量（克）甲生产线抽样的频数乙生产线抽样的频数（15，25]12（25，35]32（35，45]x12（45，55]y3（55，65]21（1）求x，y的值；（2）现从两条生产线上的三等品中各抽取1件，求这两件产品的质量均在（15，25]的概率；（3）估算甲生产线20个数据的中位数（保留3位有效数字）．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646．n参考公式：相关系数r＝，回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．19．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；n（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）20．已知函数f（x）＝（ax﹣1）ex，a∈R（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．21．已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．n新学道临川学校2019年3月月考试卷一．选择题（共12小题）1．某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（　　）A．32B．33C．41D．42【分析】根据条件求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：∵相邻的两个组的编号分别为14，23，∴样本间隔为23﹣14＝9，则第四组的学生的编号为14+9×2＝32，故选：A．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．2．某单位有职工100人，30岁以下的有20人，30岁到40岁之间的有60人，40岁以上的有20人，今用分层抽样的方法从中抽取20人，则各年龄段分别抽取的人数为（　　）A．2，6，10B．4，12，4C．8，8，4D．12，14，15【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】解：某单位有职工100人，30岁以下的有20人，30岁到40岁之间的有60人，40岁以上的有20人，分层抽样的方法从中抽取20人，30岁以下的抽取：20×＝4人，30岁到40岁之间的抽取：20×＝12人，40岁以上的：20×＝4人．故选：B．【点评】本题考查各年龄段分别抽取的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位n数分别是（　　）A．2322B．2322.5C．2122D．2122.5【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲成绩的平均数和乙成绩的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图知，甲成绩的平均数为×（10+11+14+21+23+23+32+34）＝21，乙成绩的中位数为×（22+23）＝22.5．故选：D．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数与中位数的应用问题，是基础题．4．设某高中的男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣80.71，则下列结论中不正确的是（　　）A．y与x有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该高中某男生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该高中某男生身高为170cm，则可断定其体重必为63.79kg【分析】根据线性回归方程及其意义，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：根据线性回归方程＝0.85x﹣80.71，回归系数＝0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心，B正确；该大学某女生身高增加1cm时，则其体重约增加0.85kg，C正确；当x＝170cm时，＝0.85×170﹣85.71＝58.79kg，即大学某女生身高为170cm，她的体重约为58.79kg，D错误；故选：D．【点评】本题考查了回归方程的意义与应用问题，是基础题．5．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映n的变量间的相关关系是（　　）A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②【分析】分别分析三个图中的点的分布情况，即可得出图（1）是正相关关系，图（2）不相关的，图（3）是负相关关系．【解答】解：对于（1），图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系①；对于（2），图中的点没有明显的带状分布，是不相关的③；对于（3），图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系②．故选：D．【点评】本题考查了利散点图判断相关性问题，是基础题．6．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，则这组数据中众数的估计值是（　　）A．100B．101C．102D．103【分析】由频率分布直方图能求出这组数据中众数的估计值．【解答】解：由频率分布直方图得：这组数据中众数的估计值：＝101．故选：B．【点评】本题考查众数的估计值的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三n个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）A．随机数法B．分层抽样法C．抽签法D．系统抽样法【分析】利用随机数法、分层抽样法、抽签法、系统抽样法的定义和性质直接求解．【解答】解：某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，最合理的抽样方法是分层抽样法．故选：B．【点评】本题考查抽样方法的判断，考查随机数法、分层抽样法、抽签法、系统抽样法的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化．为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为（　　）千万元（参考公式及数据：＝＝；＝﹣，（xi﹣）（yi﹣）＝1.7，﹣n＝10A．1.88B．2.21C．1.85D．2.34【分析】由已知数据求得与的值，可得线性回归方程，取x＝8即可求得答案．【解答】解：由表格数据可得，，．又，（xi﹣）（yi﹣）＝1.7，n∴＝，，∴国企的生产利润y与年份x得回归方程为，取x＝8，可得．故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．9．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．02B．07C．01D．06【分析】根据随机数表的定义进行选取即可．【解答】解：第1行的第3列和第4列数字为16，满足条件，以此是65，72不满足条件，08满足条件，02满足条件，63不满足条件.14满足条件，07满足条件，02重复，43，69，97，28，不满足条件．01满足条件，即满足条件的6个数为16，08，14，02，07，01，则第6个个体编号为01，故选：C．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，利用随机数表法是解决本题的关键．比较基础．10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平均数的定义直接求解．【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，n那么另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数为：2×2﹣3＝1．故选：A．【点评】本题考查平均数的求法，考查平均数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知数据x1，x2，x3的方差s2＝4，则x1+2，x2+2，x3+2的方差为（　　）A．4B．6C．16D．36【分析】利用方差的性质直接求解．【解答】解：∵数据x1，x2，x3的方差S2＝4，∴x1+2，x2+2，x3+2的方差为12×S2＝4．故选：A．【点评】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．12．已知样本7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据落在8.5～11.5的频率为（　　）A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2【分析】根据数据可得落在范围8.5～11.5内的数据有8个，再利用频率＝频数÷总数可得答案．【解答】解：样本数据落在范围8.5～11.5内的数据有10、11、10、10、10、11、9、9共8个，频率为：8÷20＝0.4，故选：B．【点评】此题主要考查了频率，关键是掌握频率＝频数÷数据总数．二．填空题（共4小题）13．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为　700　．n【分析】先有频率分布直方图求出在[2000，3500）收入段的频率，用此频率乘以样本容量计算出应抽人数．【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．故答案为：700．【点评】本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．14．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上收据可以估计该池塘有　750　条鱼．【分析】设该池塘中有x条鱼，由题设条件建立方程：，由此能够估计该池塘中鱼的数量．【解答】解：设该池塘中有x条鱼，由题设条件建立方程：，解得x＝750．故答案为：750．【点评】本题考查利用样本数据估计总体数据，是基础题．解题时要认真审题，注意寻找数量间的相互关系，合理地建立方程．15．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：n（1）频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为　0.016　（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100]之间的概率为　0.6　．【分析】（1）由频率分布的直方图可得成绩落在区间[50，60）内的频率，设样本容量为n，由样本频率的定义求出n，可得成绩落在[80，90）间的频率，再除以除以组距10，可得所求．（2）由于故绩落在[80，90）间的有4个，落在[90，100]之间的有2个，根据所有的取法共有种，至少有一份分数在[90，100]之间的取法有+种，由此求得至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由频率分布的直方图可得成绩落在区间[50，60）内的频率为0.008×10＝0.08，而由茎叶图可得成绩落在区间[50，60）内的只有2个，设样本容量为n，则有＝0.08，解得n＝25．故成绩落在[80，90）间的有25﹣21＝4，故成绩落在[80，90）间的频率为，故矩形的高为频率除以组距10为＝0.016，故答案为0.016．（2）由于故绩落在[80，90）间的有4个，落在[90，100]之间的有2个，分数在[80，100]之间的试卷中任取两份，所有的取法共有＝15种，其中，至少有一份分数在[90，100]之间的取法有+＝9种，故至少有一份分数在[90，100]之间的概率为＝0.6，故答案为0.6．【点评】本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样样本的频率分步估计总体的分步，属n于基础题．16．已知x与y之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系．x0246y12m+12﹣m3﹣m则y与x的回归直线方程必过定点　（3，）　．【分析】运用回归直线过样本中心点可得结果．【解答】解：根据题意得，回归直线过样本中心点∵＝＝3，＝＝∴y与x的回归直线方程必过定点（3，）故答案为（3，）．【点评】本题考查线性回归方程．三．解答题（共5小题）17．某企业有甲、乙两条生产线生产同种产品，现随机从这两条生产线上各抽取20件产品检测质量（单位：克），质量值落在（15，25]，（55，65]的产品为三等品，质量值落在（25，35]，（45，55]的产品为二等品，质量值落在（35，45]的产品为一等品．下表为从两条生产线上各抽取的20件产品的质量检测情况，将频率视为概率，从甲生产线上随机抽取1件产品，为二等品的概率为0.2．产品质量（克）甲生产线抽样的频数乙生产线抽样的频数（15，25]12（25，35]32（35，45]x12（45，55]y3（55，65]21（1）求x，y的值；（2）现从两条生产线上的三等品中各抽取1件，求这两件产品的质量均在（15，25]的概率；（3）估算甲生产线20个数据的中位数（保留3位有效数字）．n【分析】（1）由频率分布表列出方程，能求出x，y．（2）甲生产线产品质量在（15，25]上的数据记为A1，在（55，65]上的数据记为B1，B2，乙生产线产品质量在（15，25]上的数据记为a1，a2，在（55，65]上的数据记为b1，从两条生产线上的三等品中各抽取1件，利用列举法能求出这两件产品的质量均在（15，25]的概率．（3）设甲生产线20个数据的中位数是t，列方程能求出甲生产线20个数据的中位数．【解答】解：（1）由题意，所以y＝1，x＝13．（2）甲生产线产品质量在（15，25]上的数据记为A1，在（55，65]上的数据记为B1，B2，乙生产线产品质量在（15，25]上的数据记为a1，a2，在（55，65]上的数据记为b1，从两条生产线上的三等品中各抽取1件，所有可能情况是：A1B1，A1B2，A1b1，a1B1，a1B2，a1b1，a2B1，a2B2，a2b1，共9种情况这两件产品的质量均在（15，25]上的可能情况是：A1B1，A1B2，共2种情况所以，从两条生产线上的三等品中各抽取1件，这两件产品的质量均在（15，25]的概率（3）设甲生产线20个数据的中位数是t，则由题意解得（克）所以甲生产线20个数据的中位数约是39.6克．【点评】本题考查实数值、概率、中位数的求法，考查频率分布表、列举法、中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646．n参考公式：相关系数r＝，回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r＝＝≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；n（2）＝＝≈≈0.103，＝﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程＝0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故＝0.10×9+0.92＝1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；n（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：n（2）根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：p＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为：（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35，∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m3．【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数f（x）＝（ax﹣1）ex，a∈R（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值．（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入，对函数求导，分解结不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x），f′（x）的变化情况，进而研究函数的单调区间，由单调性求解函数的最值n（2）函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数⇔f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，分类a，转化为求函数的最值．（法一）构造函数g（x）＝ax+a﹣1，借助于一次函数的性质讨论．（法二）转化a恒成立，进而求在（0，1）上的最值（或值域）【解答】解：（I）因为f'（x）＝（ax+a﹣1）ex，所以当a＝1时，f'（x）＝xex，令f'（x）＝0，则x＝0，所以f（x），f'（x）的变化情况如下表：所以x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝﹣1．（II）因为f'（x）＝（ax+a﹣1）ex，函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，所以f'（x）≥0对x∈（0，1）恒成立．又ex＞0，所以只要ax+a﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，解法一：设g（x）＝ax+a﹣1，则要使ax+a﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，只要成立，即，解得a≥1．解法二：要使ax+a﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，因为x＞0，所以对x∈（0，1）恒成立，因为函数在（0，1）上单调递减，所以只要．【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，属于基本知识的简单运用，而函数的在区间n上的恒成立问题常转化为求函数的最值，常用分离参数法．21．已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）方法一、求出t＝4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|＝|AN|，解得k＝1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；（Ⅱ）直线AM的方程为y＝k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|＝|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t＝4时，椭圆E的方程为+＝1，A（﹣2，0），直线AM的方程为y＝k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣，则|AM|＝•|2﹣|＝•，由AN⊥AM，可得|AN|＝•＝•，由|AM|＝|AN|，k＞0，可得•＝•，整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）＝0，由4k2+k+4＝0无实根，可得k＝1，即有△AMN的面积为|AM|2＝（•）2＝；方法二、由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y＝x+2，代入椭圆方程+＝1，可得7x2+16x+4＝0，解得x＝﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），n则△AMN的面积为××（﹣+2）＝；（Ⅱ）直线AM的方程为y＝k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2﹣3t＝0，解得x＝﹣或x＝﹣，即有|AM|＝•|﹣|＝•，|AN|═•＝•，由2|AM|＝|AN|，可得2•＝•，整理得t＝，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．