吉林省白山市第七中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理 11页

白山七中2018—2019学年度下学期高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为(　　)A．4　　B．16C．8D．22如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁4．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)A．1B．C.πD．－5用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　)A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数6．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个7．若n∈N且n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（）（A）（B）（C）（D）8《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论n9若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)A．1B．C.D．10设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝(　　)A.B．C.D．11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A.，0B．0，C．－，0D．0，－12设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．复数的共轭复数是________．14有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有种15若，则的展开式中常数项为----16已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则li＝-----三解答题17(10分)已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．(1)求b的值；(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.18(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.n求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．19用数学归纳法12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*)．20(12分)如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为分别作轴的垂线，垂足分别为A,B，求阴影部分的面积21(12分)用长为32cm，宽为20cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？22．(12分)已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．n高二期中参考答案1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为(　　)A．4　　　　　　　　　B．16C．8D．2解析：因为＝＝4x＋2Δx，所以f′(x)＝li＝li(4x＋2Δx)＝4x.则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.答案：C2．)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]　C3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁[答案]　C[解析]　若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．(2015·漳州模拟)曲线y＝x2在点M(，)的切线的倾斜角的大小是(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]　B[解析]　y′＝2x，n∴当x＝时，y′＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；∴1＝tanα，∵0°≤α<180°，∴α＝45°，故选B.5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　)A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案]　B[解析]　“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．6．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个7．若n∈N且n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（D）（A）（B）（C）（D）8《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论[答案]　C[解析]　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．9．(2015·吉林实验中学高二期中)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)A．1B．C.D．[答案]　B[解析]　过点P作y＝x－2的平行直线，当与曲线y＝x2－lnx相切时，P到直线y＝x－2的距离最小，n设P(x0，x－lnx0)，则有k＝y′|x＝x0＝2x0－.∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴y0＝1，∴P(1,1)，∴d＝＝.故选B.10．(2015·海南文昌中学高二期中)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝(　　)A.B．C.D．[答案]　C[解析]　将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A.，0B．0，C．－，0D．0，－[答案]　A[解析]　f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，n易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.12．(2015·吉林市实验中学高二期中)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案]　D[分析]　由x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0可确定F(x)＝f(x)g(x)在x<0时的单调性，再由f(x)与g(x)的奇偶性可得出x>0时F(x)的单调性．再结合g(－3)＝0，可得结论．[解析]　设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.∴F(x)当x<0时为增函数．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)．故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．故选D.填空题13．复数的共轭复数是＋i14n有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有75种15若，则的展开式中常数项为672．16已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则li＝_____8___解答题17(10分)已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．(1)求b的值；(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.解析：(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.∵z是纯虚数，∴3－3b＝0，且9＋b≠0，∴b＝1.-------------------------------------------------5分(2)ω＝＝＝＝－i，-----------------------------8分∴|ω|＝＝.-------------------------------10分18(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析]　(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①-----------------------------2分又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②-----------------------4分解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.----------------------6分(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>；-------------------------------8分令f′(x)<0，可得－30，当40------------------------5分，所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．故当x＝e时，g(x)有最小值且最小值为g(e)＝e.所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．--------------------------6分(2)由题意，得k(x)＝x－2lnx－a.令φ(x)＝x－2lnx，又函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．-----------------------8分φ′(x)＝1－＝，-------------------------------------9分当x∈(1,2)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，当x∈(2,3)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增．-----------------------------------10分又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3，------------------------------11分要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，则2－2ln2