河南省南阳市第一中学2019届高三数学第十四次考试试题文（含解析） 19页

南阳一中2019年春期高三第14次考试数学试题（文科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A.1B.0C.D.【答案】B【解析】【分析】由x∈A，y∈B得到，x有3种可能性，y有2种可能性，故xy共有6种可能性，然后再将重复的排除掉一次，便可得到A⊙B中的元素，进而相加可得答案。【详解】解因为，所以的可能取值为-1,0,1同理，的可能取值为所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）：所以所有元素之和为0，故选B【点睛】“新定义”问题的关键是要读懂新定义，本题以集合为载体，定义了一个新的集合运算，但其本质还是考查集合中元素之间的关系及其元素的性质。2.设，则（）A.B.1C.2D.【答案】A【解析】试题分析：由题设得，所以.故正确答案为A.考点：复数运算、模.3.若，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】n试题分析：由则，所以，又由三角函数的基本关系式，且，解得，所以，故选A.考点：三角函数的基本关系式及余弦的倍角公式.4.在等差数列中，若，则=（）A.13B.14C.15D.16【答案】A【解析】【分析】因为数列是是等差数列，所以可将用首项和公差表示为，即，然后用首项和公差表示，即，进而整体代入便可得结果。【详解】解：因为数列是是等差数列，设首项为，公差为所以可转化为，即所以故选A【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用。5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A.1B.2C.4D.8【答案】Bn【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴，解得r=2，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．6.我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与右图相似.记为除以所得余数，执行程序框图，若输入分别为243,45，则输出的的值为（）A.0B.1C.9D.18【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得na=243，b=45y=18，不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．故选：C．点睛：先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（　）A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】是平面内两个互相垂直的单位向量，故以所在直线建立直角坐标系，设，，，由得出关于的方程为，然后三角换元，令（为参数），代入目标，转化为三角函数问题即可解得。【详解】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），n所以，因为，所以，，故选C。【点睛】本题考查了向量数量积的问题，向量问题常见的解法是基底法与坐标法。本题中有两个垂直的向量，这给建系提供了必要的前提，在建系的基础上，将几何图形问题转化为代数（函数）问题求解最值，体现了数形结合的思想方法。8.若等差数列与等比数列的首项是相等的正数,且它们的第项也相等,则有()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为等比数列中，，所以，又，当时，显然有；当时，显然有，即，综上可知，故选C.9.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【答案】A【解析】如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．n解：?CA⊥面ABC1?面ABC⊥面ABC1，∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内，也在面ABC内∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选A10.设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中，因此目标函数（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C.考点：线性规划求最值，三角函数图像变换【名师点睛】1.对y＝Asin(ωx＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为x±a(a＞0)，变换后的函数解析式为y＝Asin[ω(x±a)＋φ]；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为y＝Asin(x＋φ)．2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．n11.已知，，满足，则的取值范围为（）A.[4，12]B.[4,）C.[0，6]D.[4，6]【答案】A【解析】【分析】可转化为，然后进行三角换元为（为参数），将目标函数转化为三角函数问题求解范围。【详解】解：可转化为，故可设（为参数），解得所以，因为，所以，，故选A。【点睛】本题是一个多元最值的问题，如何“减元”是解决问题的关键。本题采用的方法是三角换元，将转化为角的三角函数，由多元转化为单元，然后再借助三角函数求解其最值。12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是().A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数，计算最值，得到的范围，即可。【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到要使得存在两个不同的极值点，则要求n有两个不同的根，且，则，解得，而，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为____【答案】【解析】【分析】从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，可用列举法列出所有可能，然后利用古典概型的公式求解。【详解】解：从数字、、中任取两个不同的数字，构成两位数所有的可能为12,13,21,23,31,32，其中满足大于30的有31,32，故这个两位数大于的概率为。【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举过程中要做到“不重不漏”。14.已知，如果是钝角，则x的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】是钝角，即为的夹角为钝角，所以有且与不共线，得出关于的关系式，从而解得。【详解】解：因为是钝角，所以的夹角为钝角，n所以且与不共线，即，解得即。【点睛】本题考查的是向量夹角与数量积的问题，当向量的夹角为钝角时，则并且与的夹角不等于180°，即且与不共线，解题时不能忽略“与不共线”这一条件。15.已知非零向量,满足||=||=|-|则向量与+的夹角为______【答案】【解析】【分析】对||=||=|-|平方得，，化简可得，进而得到，将数据代入到内，化简便可得到余弦值，从而得到夹角的大小。【详解】解：对||=||=|-|进行平方，可得，，化简整理得，，故，所以又因为所以。【点睛】本题考查了向量模的问题，常见解法是对向量的模进行平方，平方后就可以将模的问题转化为向量数量积的问题，从而根据向量数量积求解向量的夹角。16.已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点为的内心，且、、的面积分别为、、，若，则的值为__________．n【答案】5【解析】【分析】先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出，求得结果.【详解】据题意，因为离心率，设点为的内心，设半径为r，得化简得，设故答案为：5.【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.三角形的内心：角平分线的交点；三角形的外心：垂直平分线的交点；三角形的重心：中线的交点.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤。）17.已知函数的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，若n（1）求函数的解析式，（2）将函数的图象向右平移2个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设点的横、纵坐标为，根据，在中，建立关于方程组解出，从而解出函数的解析式；（2）由（1）可得函数，向右平移2个单位后得到函数，则，通过三角变换后，可得，再由定义域可解出函数的值域。【详解】解：（1）设点的横、纵坐标为，在中，，所以有，解得，所以得到故，解得将点代入函数得，因为，所以得到，故；n（2）函数向右平移2个单位后,得到函数，【点睛】本题求解三角函数的解析式，就是要确定参数三者的值，A的值由函数的最值来确定，可根据周期来确定，则是代入一个已知点来解决；求三角函数值域时，首先要将原函数利用三角变换转化为标准形式，即，然后再根据函数的定义域与三角函数的图像来进行求解。18.如图，在四棱锥中,为上一点，面面，四边形为矩形，,．（1）已知,且∥面，求的值;（2）求证：面,并求点到面的距离．n【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接，由直线与平面平行的性质定理可得，由平行线分线段成比例的性质可得，故．（2）根据勾股定理可知，由平面与平面垂直的性质可得面，即，而已知，根据直线与平面垂直判定定理可得面，由可求出点到面的距离．（1）连接交于点，连接．3分,5分（2）6分又面面，且面面,面又,且,面9分设点到面的距离为，由,得，求得12分考点：1．直线与平面平行和垂直的判定及性质；2．平行线分线段成比例的性质；3．平面与平面垂直的性质．19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.n表中,.（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（3）已知这种产品的年利润与、的关系为.根据（2）的结果要求：年宣传费为何值时，年利润最大？附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）（2）（3）46.24【解析】试题分析：由散点图的连线，类似于函数，所以选取作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.求出d和c的值，写出关于的回归方程即可;列出年利润z的函数，利用二次函数的性质求解年利润的最大值.试题解析：（1）选n（2）令，由表可知：，所以关于的回归方程为：（3）由（2）可知：年利润所以当，即时，最大.故年宣传费为46.24千元时，年利润最大.20.已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可知，解方程可求c，b，进而可求椭圆方程,（2）设直线与的斜率都存在，分别设为，求得，，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，同理得进而化简可得解.【详解】（1）依题意有，而，故，，从而椭圆：.（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而n因而直线与的斜率都存在，分别设为，则由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得设，则从而.同理有，从而有从而为定值.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理的应用，对（2）推得直线与的斜率的乘积为21.已知函数在处的切线斜率为.（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】(1)先对函数求导，由函数在处的切线斜率为即可求出的值，进而可得函数的单调性；(2)要证，即证，构造函数，，用导数的方法求函数的最小值和函数的最大值，即可得出结论.n【详解】（1）由切线斜率，解得．，其定义域为，令，解得，故在区间上单调递增；令，解得，且，故在区间和区间上单调递减；（2）由（1）知，定义域为．从而等价于，设，则，.当时，，当时，.故在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而在的最小值为.设，则，当时，，当时，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而在的最大值为，综上所述，在区间上恒有成立，即．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，需要用导数的方法研究函数的单调性，证明不等式成立的问题通常需要将不等式进行转化，构造函数，再由导数的方法研究函数的最值即可求解，过程较繁琐，难度较大.22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.【答案】（1）：，：（2）【解析】n【分析】（1）利用，即可得出答案。（2）分别计算出点M到射线的距离和点P,Q的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。【详解】（1）曲线，把公式代入可得：曲线的极坐标方程为.设，则，则有.所以，曲线的极坐标方程为.（2）到射线的距离为，射线与曲线交点，射线与曲线交点∴故【点睛】本道题目考查了普通方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方法，方程转化记住，极坐标长度用纵坐标相减。23.已知函数（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当且时，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）【解析】【试题分析】（1）运用分类整合思想将绝对符号去掉，然后再与已知不等式进行比对求出出参数；（2）先将不等式进行等价转化，再运用分类整合思想分类探求不等式的解集：解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；n当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)．∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；当t＝2时原不等式的解集为[2，＋∞)．