江苏省七市2019届高三数学第三次调研考试试题 18页

江苏省七市2019届高三数学第三次调研考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合U＝{－1，0，2，3}，A＝{0，3}，则∁UA＝________．2.已知复数z＝(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．3.右图是一个算法流程图．若输出y的值为4时，则输入x的值为________．　4.已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy＝90，则该组数据的方差为________．5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．　7.已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn.若a3－a2＝4，a4＝16，则S3的值为________．8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为________．9.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝3cm，BC＝1cm，CD＝2cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm3.10.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin2x与y＝tanx在(，π)上交点的横坐标为α，则sin2α的值为________．n11.如图，在正六边形ABCDEF中，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．(第11题)　　　　(第12题)12.如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m．若从离地高2m的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．13.已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．14.在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若·＋·＝·，则CB＋CD的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinB＋sinC)．(1)求角C的值；(2)若a＝4b，求sinB的值．n16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：(1)BE⊥CD；(2)EF∥平面PAB.(本小题满分14分)17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A(0，)，圆O：x2＋y2＝经过点M(0，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．n18.(本小题满分16分)南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1)若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；(2)当风筝面AEA′F的面积为m2时，求点A′到AB距离的最大值．n19.(本小题满分16分)已知数列{an}满足(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1(n≥2)，bn＝－n(n∈N*)．(1)若a1＝3，求证：数列{bn}是等比数列；(2)若存在k∈N*，使得，，成等差数列．①求数列{an}的通项公式；②求证：lnn＋an＞ln(n＋1)－an＋1.n20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(a≠0)，e是自然对数的底数．(1)当a＞0时，求f(x)的单调增区间；(2)若对任意的x≥，f(x)≥2eb－1(b∈R)，求的最大值；(3)若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋ex＜0的解集.n2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝的逆矩阵A－1＝.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线y＝2x＋1，求曲线C的方程．B.(选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为(4，)，(2，)，曲线C的方程为ρ＝r(r>0)．(1)求直线AB的直角坐标方程；(2)若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．n【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．　　　　　　　　　　表1文章学习积分12345概率　　　　　　　表2视频学习积分246概率(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1)求2P2－Q2的值；(2)化简nPn－Qn.nn2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1.{－1，2}　2.－3　3.－1　4.　5.　6.(－2，0)∪(2，＋∞)　7.14　8.2　9.　10.－11.　12.　13.－　14.15.解：(1)在△ABC中，因为a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinB＋sinC)，由正弦定理＝＝，所以a(a－b)＝(b＋c)(c－b)，(3分)即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得cosC＝.(5分)因为00，所以sinB＝.(14分)16.证明：(1)在△PBC中，因为BP＝BC，点E是PC的中点，所以BE⊥PC.(2分)因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC＝PC，BE?平面BPC，所以BE⊥平面PCD.(5分)因为CD平面DPC，所以BE⊥CD.(7分)n(2)如图，取PB的中点H，连结EH，AH.在△PBC中，因为点E是PC的中点，所以HE∥BC，HE＝BC.(9分)又底面ABCD是平行四边形，点F是AD的中点，所以AF∥BC，AF＝BC.所以HE∥AF，HE＝AF，所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA.(12分)因为EF平面PAB，HA平面PAB，所以EF∥平面PAB.(14分)17.解：(1)因为椭圆C的上顶点为A(0，)，所以b＝.又圆O：x2＋y2＝a2经过点M(0，1)，所以a＝2.(2分)所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)(2)若直线l1的斜率为0，则PQ＝，MN＝2，所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线l1的斜率不为0.(5分)设直线l1的方程为y＝kx＋1，由消y，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＝，x2＝，所以PQ＝＝＝.(8分)由题可知，直线l2的方程为y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0，n所以MN＝2＝.(11分)所以△PQN的面积S＝PQ·MN＝×·＝3，解得k＝±，即直线l1的斜率为±.(14分)18.解：(1)(解法1)建立如图所示的直角坐标系，则B(2，0)，D(0，)，直线BD的方程为3x＋4y－6＝0.(2分)设F(0，b)(b>0)，因为点F到AB与BD的距离相等，所以b＝，解得b＝或b＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF的面积为×2×＝m2，所以四边形ABA′F的面积为m2.答：风筝面ABA′F的面积为m2.(6分)(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.在直角三角形ABD中，tan2θ＝＝，(2分)所以＝，解得tanθ＝或tanθ＝－3(舍去)．所以AF＝ABtanθ＝.(4分)所以△ABF的面积为×2×＝m2，所以四边形ABA′F的面积为m2.答：风筝面ABA′F的面积为m2.(6分)n(2)(解法1)建立如图所示的直角坐标系．设AE＝a，AF＝b，A′(x0，y0)，则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0.因为点A，A′关于直线EF对称，所以解得y0＝.(10分)因为四边形AEA′F的面积为，所以ab＝，所以y0＝＝.因为0ln(n＋1)－an＋1，n即证(an＋an＋1)>ln，即证＋>2ln.设t＝，则＋＝t－1＋＝t－，且t>1，从而只需证：当t>1时，t－>2lnt．(12分)设f(x)＝x－－2lnx(x>1)，则f′(x)＝1＋－＝(－1)2>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x－>2lnx.因为t>1，所以t－>2lnt，所以原不等式得证．(16分)20.解：(1)f(x)的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞)．由f′(x)＝＝，(2分)令f′(x)>0，因为a>0，得x>e－.因为e－>e－1，所以f(x)的单调增区间是(e－，＋∞)．(4分)(2)当a<0时，f(1)＝a<0<2eb－1，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，得00，则≤.(8分)设g(b)＝(b>0)，则g′(b)＝.当00；当b>1时，g′(b)<0，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(b)≤g(1)，即≤，n所以的最大值为.(10分)(3)由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．当a<0时，f(x)在(0，e－1)和(e－1，e－)上单调递增，在(e－，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝e－处取极大值，所以f(e－)＝＝－2，即a＝－e.(12分)设F(x)＝f(x)＋ex，即F(x)＝ex－，当x∈(0，e－1)，1＋lnx<0，所以F(x)>0；当x∈(e－1，＋∞)，F′(x)＝ex－，由(2)知ex≤ex，又1＋2lnx≤(1＋lnx)2，所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e－1，＋∞)上单调递增．不等式f(x)＋ex<0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e－10)，其直角坐标方程为x2＋y2＝r2.又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB的距离为＝，即r的值为.(10分)C.解：因为关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，所以Δ＝16－4(|a－1|＋|a|)≥0，即|a－1|＋|a|≤4.(4分)当a≥1时，2a－1≤4，得1≤a≤；当0