江苏省扬州中学2019届高三数学下学期4月质量检测试题 17页

江苏省扬州中学2019届高三数学下学期4月质量检测试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设集合，，则.2.在复平面内，复数对应的点位于第象限.3.“”是“”的条件.(填:充分不必要，必要不充分,充分必要,既不充分也不必要)4．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，现场作的47个分数的茎叶图如图，则5个剩余分数的方差为.5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作个社团中随机选择个，则数学建模社团被选中的概率为_________.6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为.7.已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为.8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为.9.设四边形为平行四边形，，．若点满足，，则．10.若在是减函数，则的最大值是．11.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是．12．已知公差为的等差数列满足，且是的等比中项；记n，则对任意的正整数均有，则公差的取值范围是．13.已知点Q(0,5)，若P,R分别是O:和直线上的动点，则的最小值为．14.用max表示中的最大值,已知实数满足，设M=max,则M的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（1）求的值；（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．16.如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且平面.（1）求证：E是AB的中点；（2）若，求证:.17.已知椭圆的离心率为n，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2。（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线所得的弦的长度为，求直线l的方程。18、如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台的上端点处分别向水池内的三个不同方向建水滑道，水滑道的下端点在同一条直线上，，平分，假设水滑梯的滑道可以看成线段，均在过且与垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求.（1）求滑梯的高的最大值；图（1）图（2）（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.19.已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；n（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为；求的值；若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点且交曲线于点，直线与曲线切于点且交曲线于点，记点的横坐标分别为，求的值．20.如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为（1）若，公差，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若数列具有“性质”，求证：且；（3）若数列具有“性质”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.n数学II试题（附加题）1.已知矩阵，向量．求向量，使得．2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程是(θ为参数),直线l与圆C交于两个不同的点A、B,点P在圆C上运动,求△PAB面积的最大值.3.如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求异面直线，所成角的余弦值；（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．ABCDNPMB（第3题）4.如图，将一个正三角形ABC的每一边都等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网.记为等分后图中所有梯形的个数.n（1）求的值；（2）求的表达式.答案1.2．一3.必要不充分条件4.6.5.0.56.7.8.9．910.11.12.．13.614.15解答：（1），.（2）∵，∴，∵，∴，又∵，且终边在第三象限，∴.①当时，.②当时，.16.n18（1）由椭圆的离心率为，得，….…….….….….….….….….…2分由得，….….….….….….…4分，….….….….….….…5分所以椭圆方程为．….….….….….….…6分（2）解：设直线，，，中点．联立方程得，.….….….….…8分．….….….….…10分所以，n点到直线的距离为．.….….…12分由以线段为直径的圆截直线所得的弦的长度为得，所以，解得，所以直线的方程为或．….….….….….….….….….…14分18.n19.解析：（1）本小题：紧扣定义，用好条件，注意检验．∵是奇函数，且；∴，且即；∴；∴，而当时有极小值；…………………2分∴；……………………4分经检验满足题意，则．……………………5分本小题：三次函数的切线处理方法要洞明．设是曲线上的一点，由知：，；∴过点的切线方程为：，消去即得：；由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；又由奇函数性质可知：点是极大值点；从而是一条切线且过点；再设另两条切线的切点为、，其中；则可令切线，；n将代入的方程中，并化简可得：且；从而有：且；…………………………………………8分∴是方程的两根；（下面考察取何值时，该方程有两个不相等的实根）构造函数：，；由，而，，实数的取值范围是：．………………10分（2）注意：第1小题与第2小题没有递进关系．令，；由及可得：；而，化简可得：，即；………………12分将切线的方程代入中并化简得：（注意切点横坐标是其一解），即，∴；同理，；则，，；∴．■……………………………16分20.解：（Ⅰ）若，公差，则数列不具有性质．理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，．……3分（Ⅱ）若数列具有“性质P”，则①假设，，则对任意的，.设，则，矛盾！②假设，，则存在正整数，使得n设，，，…，，，，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！③假设，，则存在正整数，使得设，，，…，，，，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！综上，，．8分（Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得．若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，，这与数列具有“性质P”矛盾，故．设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设，则，因为，所以，即数列的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，，，故数列的每一项均是自然数，且是正整数．由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则，即．因为，，故是的约数．所以，,．当时，，得，故，共2019种可能；当时，，得，故，共1010种可能；当时，，得，故，共3种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故n，共2种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能．综上，满足题意的数列共有（种）．经检验，这些数列均符合题意．16分附加题2.由直线l的参数方程为(t为参数),n可得直线l的普通方程为x+y-1=0,由圆C的参数方程为(θ为参数),可得圆C的普通方程为x2+y2=1,所以解得或所以相交的两点的坐标分别为(1,0),(0,1),所以|AB|=.设点P(cosθ,sinθ),则点P到直线l的距离为d==,当θ=π时,d取得最大值1+.所以△PAB的面积的最大值为|AB|·d=××=.3.（1）因为平面，且平面，所以，，又因为，所以两两互相垂直．分别以为轴建立空间直角坐标系，则由，可得，，，，，又因为为的中点，所以．所以，，…………2分所以，所以异面直线，所成角的余弦值为．…………………………5分（2）因为，所以，则，n，，设平面的法向量为，则即令，解得，，所以是平面的一个法向量．……………………………7分因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，所以的值为．…………………10分4.nnn