四川省泸县第四中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文 10页

2019年春期四川省泸县第四中学高二期中考试文科数学试题答题时间：120分钟满分：150一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=　A．B．C．D．2.已知复数满足，为虚数单位，则等于A．B．C．D．3.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A.B.C.D.12224.设，，则“”是“”的A.充分而不充分条件B.必要而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何12221222体的体积为A．B．C．D．6．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为4，则判断框中应填入的条件是A．k＜18B．k＜17C．k＜16D．k＜15n7.设变量、满足约束条件，则的最小值为A.-3B.-2C.0D.68．已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A.B.C.D．9．学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A．　　　B．　　C．D．10.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为A．B．C.D．11.若函数在处有极大值，则常数为A．2或6B．2C．6D．-2或-612.设函数，若对于任意的，都有，则A.B.C.D.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知是上的奇函数，且为偶函数，当时，，则．14.在半径为的圆内任取一点，以点为中点的弦的弦长小于的概率为________.15.已知抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值为n__________.16．设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本大题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数)．(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；(Ⅱ)设点，直线与曲线交于两点，求|QA|·|QB|的值．18.(本题满分12分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1(Ⅰ)根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;(Ⅱ)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：n选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879附：19.（本题满分12分）经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在的黄桃中随机抽取个，再从这个黄桃中随机抽个，求这个黄桃质量至少有一个不小于克的概率；（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：所有黄桃均以元/千克收购；低于克的黄桃以5元/个收购，高于或等于克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：）n20.（本题满分12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．ECBAC1A1FB1（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．21.（本小题满分12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．（Ⅰ）求和的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与交于，与交于，求证：．n22.（本题满分12分）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：.2019年春期四川省泸县第四中学高二期中考试文科数学试题答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.D9.B10.B11.C12.A二．填空题13.13.15.16．三.解答题17.(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，所以x2＋y2＝6x＋2y，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x－2y＝0.由，消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－3＝0.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为(t′为参数)………7分代入曲线C的直角坐标方程x2＋y2－6x－2y＝0得t′2＋3t′－5＝0.………9分由韦达定理，得t′1t′2＝－5，则|QA|·|QB|＝|t′1t′2|＝5.………10分18..解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1n＝10002，D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002，则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），…………4分我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（只要言之有理即给2分）…………6分（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，…7分由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2≈6.734，且K2＝6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．…………12分19.解：（Ⅰ）由题得黄桃质量在和的比例为，∴应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.-----------------2分记抽取质量在的黄桃为，质量在的黄桃为，则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下种：--------------------------------------------4分其中质量至少有一个不小于克的7种情况，故所求概率为.--------------------6分（Ⅱ）方案好，理由如下：n由频率分布直方图可知，黄桃质量在的频率为同理，黄桃质量在的频率依次为-----------------------------------------------------------------------7分若按方案收购：∵黄桃质量低于克的个数为个黄桃质量不低于克的个数为个∴收益为元--------------8分若按方案收购：根据题意各段黄桃个数依次为，于是总收益为----------------9分（元）----------------------------------------------------------11分∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.--------------------------12分20．（Ⅰ）证明：取AC的中点M，连结EM，FM，在中，因为E、M分别为AB，AC的中点，所以且，又F为的中点，，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以……3分，又平面，平面，所以平面……6分（Ⅱ）解：设O为BC的中点，因棱柱底面是正三角形，所以有，且平面……8分于是……12分n21.解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．1分因为关于对称，所以解得………………3分所以的标准方程为．4分因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．5分（2）设的斜率为，那么其方程为，6分则到的距离，所以．7分由消去并整理得：．设，则，那么．9分所以．11分所以，即．12分22.解：（1）的定义域为，且，①当时，，此时的单调递减区间为.②当时，由，得；由，得.n此时的单调减区间为，单调增区间为.③当时，由，得；由，得.此时的单调减区间为，单调增区间为.（2）当时，要证：，只要证：，即证：.（*）设，则，设，由（1）知在上单调递增，所以当时，，于是，所以在上单调递增，所以当时，（*）式成立，故当时，.