安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三数学3月联考试题文（含解析） 21页

安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三数学3月联考试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，再和集合求交集即可得出结果.【详解】解不等式得，所以，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.设（，为虚数单位），则的表达式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则化简，再由复数相等求出，进而可求出结果.【详解】因为，又，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可，属于基础题型.3.曲线在点处的切线经过点，则的值为（）nA.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果.【详解】因为，所以，故，又，所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常考题型.4.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）A.100000元B.95000元C.90000元D.85000元【答案】D【解析】【分析】先根据折线图求得年的就医费用，然后求得年的就医费用，这个费用除以即可求得年家庭总收入.【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为元.故选D【点睛】本小题主要考查阅读分析能力，图表分析能力，考查生活中的数学问题，属于基础题.n5.已知，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.【详解】，得，而.故选A.【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）A.2B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，由此求得最大的截面面积.【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积.故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角形面积公式，属于中档题.n7.若是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，则点在圆：内的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，可知点构成正方形区域，求出正方形的面积以及圆的面积，即可由面积比得出结果.【详解】因为是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，所以点的所有取值构成边长为4的正方形区域，且正方形面积为；如图所示，作出满足题意的正方形和圆，在圆：内，由可得，所以，所以；因此，所以阴影部分面积为，所以点在圆：内的概率为.故选C【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记公式即可，属于常考题型.8.函数的部分图象是（）nA.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先令求得，排除选项.通过的值排除A选项.通过的值排除D选项.由此得到正确选项.【详解】当时，由知，选项C不正确；又因为，所以选项A不正确；当时，，故选项D不正确，可知选项B正确.故选B.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查特殊值法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.9.已知直线：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆上运动，则面积的最大值为（）A.6B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程求出点，坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点坐标，根据点到直线距离公式，求出三角形的高，进而可求出结果.【详解】因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，n又点在椭圆上运动，所以可设，所以点到直线的距离为(其中)，所以.故选D【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线距离公式等，属于常考题型.10.已知锐角的角，，的对边分别为，，，且，三角形的面积，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积求得边上的高，设，用勾股定理求得的表达式，利用二次函数求值域的方法求得的取值范围.【详解】设边上的高为，则，则.以为直径作圆，显然在圆外，故为锐角，又、为锐角，设，因为已证为锐角，所以的取值因，为锐角限定，所以，所以，对称轴为，由，对称轴时取得最小值，两端是最大值（不能取得），可得的取值范围为.故选D.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查勾股定理，考查二次函数求值域的方法，属于中档题.11.在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当时，三棱锥外接球的半径为（）nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由，，可得，因此为底面外接圆圆心，所以外接球球心在上，记球心为，连结，即可结合勾股定理求解.【详解】因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，所以，又，所以在中，，即，解得.故选D【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.12.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，（为坐标原点）为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】n先由题意得到，，求出，再由双曲线的定义结合求出，两式相等，即可求出结果.【详解】由题意可得，，因为，所以，又因点在双曲线的右支上，所以，因为，所以；因此，即，所以，解得，因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.14.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．【答案】60【解析】【分析】先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以n北乡比南乡多抽人.故答案为【点睛】本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.15.若，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，所以由图像可得或，由解得；由解得；所以，，因此的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.16.已知函数，函数是定义域为的奇函数，且，则的n值为__________．【答案】【解析】【分析】先由题意求出，再由是定义域为的奇函数，求出，进而可求出结果.【详解】因为，，所以，即，又函数是定义域为的奇函数，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，熟记函数奇偶性定义即可，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知等差数列的前项和为，，公差为.（1）若，求数列的通项公式；（2）是否存在，使成立？若存在，试找出所有满足条件的，的值，并求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据，求出，即可求出结果；（2）由等差数列的前项和公式和，先得到，再分别取以及，逐一验证即可得出结果.【详解】解：（1）当时，由，得，解得，所以.所以数列的通项公式为.n（2）由题可知,由，得,即，所以.令时，得不存在；时，得符合.此时数列的通项公式为；时，得不符合；时，得符合，此时数列的通项公式为；时，得符合.此时数列的通项公式为；时，得不符合，时，得不符合；时，得不符合，时，均不符合，所以存在3组，其解与相应的通项公式分别为，，；，，；，，.【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解，属于常考题型.18.如图（一），在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置得到图（二），点为棱上的动点.n（1）当在何处时，平面平面，并证明；（2）若，，证明：点到平面的距离等于点到平面的距离，并求出该距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先判断出点为棱中点时，平面平面；再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立；（2）先由(1)得到平面平面，且交线为，再过点作交的延长线于点，从而可得就是点到底面的距离，最后由，即可求出结果.【详解】（1）当点为棱中点时，平面平面.证明如下：在图（一）的直角梯形中，，，，是的中点，所以.在图（二）中，有，，，平面，平面，所以平面.又平面，所以.又，所以.由于，为的中点，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.n（2）图（一）中，由及条件关系，得，由（1）的证明可知，在图（二）中有平面.所以平面平面，且交线为，所以过点作交的延长线于点，由平面平面，可知平面，所以就是点到底面的距离.由知，所以.设点到平面的距离为，由，得，即，即得点到平面的距离等于点到平面距离，且为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及点到面的距离问题，需要考生熟记面面垂直的判定定理，灵活掌握等体积法等，属于常考题型.19.为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围，，，分组，得到的频率分布直方图如图：（1）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若对得分在前的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；n（3）若这60名学生中男女生比例为，成绩不低于60分评估为“成绩良好”，否则评估为“成绩一般”，试完成下面列联表，是否有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？成绩良好成绩一般合计男生女生合计附：，临界值表：0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）56分；（2）67.5分；（3）有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.【解析】【分析】（1）平均值等于每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出结果；（2）根据题意先求出获奖分数线所在的区间，设获奖分数线为，再由题意列出方程，即可求出结果；(3)先求出成绩落在区间的人数，根据60名学生中男女生比例为，求出男女生人数，即可完善列联表，再由公式求出,结合临界值表即可得出结果.【详解】解：（1）预选赛的平均成绩为（分）.（2）因为成绩落在区间的频率是，成绩落在区间的频率是，，所以获奖分数线落在区间.设获奖分数线为，则，解得，n即获奖分数线为67.5分.（3）成绩落在区间的人数为，又60人中男女生比例为，故男生40人，女生20人，可得列联表如下：成绩良好成绩一般合计男生152540女生31720合计184260所以.又因为，所以有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均值的计算，以及独立性检验问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.20.已知抛物线：，圆：.（1）若过抛物线的焦点的直线与圆相切，求直线方程；（2）在（1）的条件下，若直线交抛物线于，两点，轴上是否存在点使（为坐标原点）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）切线方程为或.（2）见解析【解析】【分析】（1）先求得抛物线的焦点，根据点斜式设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的方程.（2）联立直线的方程和抛物线的方程，化简后写出韦达定理，根据，则列方程，解方程求得的值，进而求得点的坐标.【详解】解：（1）由题知抛物线的焦点为，当直线的斜率不存在时，过点的直线不可能与圆相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，n设直线斜率为，则所求的直线方程为，即，所以圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，有，所以所求的切线方程为或.（2）由（1）知，不妨设直线：，交抛物线于，两点，联立方程组，所以，，假设存在点使，则.而，，所以，即，故存在点符合条件.当直线：时，由对称性易知点也符合条件.综合可知在（1）的条件下，存在点使.【点睛】本小题主要考查直线方程，考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的交点，综合性较强，属于中档题.直线和圆的位置关系，主要利用的是圆心到直线的距离来求解，也即圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交，若距离等于半径，则直线和圆相切，若距离大于半径，则直线和圆相离.21.设函数.（1）试讨论函数的单调性；n（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；（2）将代入函数解析式，得到，根据(1)中结果，得到函数单调性，求出函数极值，即可得出结果.【详解】解：（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，令，所以，，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间n为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数的单调性和极值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），过点作斜率为的直线与圆交于，两点.（1）若圆心到直线的距离为，求的值；（2）求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】n（1）先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程，由题意设直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出结果；（2）由题意，设直线的参数方程为（为参数），代入圆的方程，结合韦达定理写出点E坐标，进而可求出结果.【详解】解：（1）由题知，圆的普通方程为，即圆的圆心为，半径.依题可设过点的直线的方程为，即，设圆心到直线的距离为，则，解得.（2）设直线的参数方程为（为参数），，代入圆：，得.设，，对应的参数分别为，，，则，所以，.又点的坐标满足，所以点的轨迹的参数方程为，即，化为普通方程为.【点睛】本题主要考查参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可求解，属于常考题型.23.已知函数.（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；n（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）-6.【解析】【分析】(1)将函数写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；(2)当时，由(1)可求出数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，再由不等式恒成立，可求出的范围，进而可求出结果.【详解】解：（1），其图象如下图：（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，故当且仅当且时时，不等式恒成立，所以，所以，故的最大值为-6.n【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于常考题型.