广东省佛山市南海区桂城中学等七校联合体2019届高三数学冲刺模拟试题理 17页

广东省佛山市南海区桂城中学等七校联合体2019届高三数学冲刺模拟试题理满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足，则A．B．C．D．2．若抛物线的焦点到准线的距离为，则A．B．C．D．3．已知集合，，若，则实数的取值范围为A．B．C．D．4．若满足约束条件则的最小值为A．B．C．D．5．在梯形中，，，，若为的中点，则A．B．C．D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，n其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A．B．C．D．7．已知，，则A．B．C．D．8．已知数列的前项和为，且，，则A．B．C．D．9．《易经》是中国传统文化中的精髓．右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为A．B．C．D．10．已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是A．B．C．D．11．已知函数，若方程在的解为，，则A．B．C．D．12．已知双曲线：的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为，则的渐近线方程为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等比数列中，，，则▲．n14．的展开式中的系数为▲．15．已知函数，则关于的不等式的解集为▲．16．已知正三棱柱的所有棱长为，点分别在侧面和内，与交于点，则周长的最小值为▲．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在平面四边形中,，，．（1）若的面积为，求；（2）若，，求．18．（12分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．n19．（12分）某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：图1图2产品的质量指数在的为三等品，在的为二等品，在的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件（单位：元）．以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．表中，，，．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．n（i）建立关于的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．20．（12分）已知为坐标原点，为椭圆：的上焦点，上一点在轴上方，且．（1）求直线的方程；（2）为直线与异于的交点，的弦的中点分别为．若在同一直线上，求面积的最大值．21．（12分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若，，求证：．n（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若上恰有个点到的距离等于，求的斜率．23．[选修：不等式选讲](10分)已知函数（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．n桂城中学2019届高考冲刺训练数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1—5：BCDCD6—10：BACDA11—12：AB11.提示：因为，所以，又因为是的两根，结合图象可知，所以，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以．12.提示：设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由得，，所以，所以，所以，所以，的渐近线方程为．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.15.16.16．解析：设关于侧面和的对称点分别为，连结，则当共线时，周长最小．由于在正三棱柱中，点是与的交点，所以点是侧面的中心，故周长最小时分别为侧面和的中心，所以周长最小值为3．三、解答题：本题共6小题，共70分.17．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想．满分12分．n解：（1）在中，因为，，，2分所以，解得．3分在中，由余弦定理得，，所以．6分（2）设，则．如图，在中，因为，所以．8分在中，，由正弦定理，得，即，10分所以，所以，即，11分所以，即．12分18．本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、二面角、空间向量等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以且，2分因为，所以，所以，4分又因为，平面，平面，所以平面，5分又因为平面，所以平面平面．6分n（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理，得，所以．7分以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，8分设平面的法向量为，则，即，9分令，则平面的一个法向量为，10分依题意，平面的一个法向量，11分所以，故二面角的余弦值为．12分19．本题考查离散型随机变量分布列及其期望、频率分布直方图、样本估计总体、回归分析、函数与导数等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、函数与方程思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识．满分12分．解：（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5、3.5、5.5，由直方图可得，一、二、三等品的频率分别为0.4、0.45、0.15，所以，，，，2分所以随机变量的分布列为：1.53.55.50.150.450.4所以，．故每件产品的平均销售利润为元．4分n（2）（i）由得，，令，则，由表中数据可得，，6分则，7分所以，，即，因为，所以，故所求的回归方程为．8分（ii）设年收益为万元，则，9分设，，则，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．11分所以，当，即时，有最大值为，即该厂应投入万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大万元．12分20．本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．解法一：（1）设,因为，所以，①又因为点在椭圆上，所以，②2分由①②解得，，或，所以的坐标为或n，3分又因为的坐标为，所以直线的方程为或．5分（2）当在第一象限时，直线，设，则，两式相减得，因为不过原点，所以，即，同理：，又因为在同一直线上，所以，所以，8分设直线，由得，，由，得，由韦达定理得，9分所以，又因为到直线的距离，n所以当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为3.11分当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3.综上，面积的最大值为3.12分解法二：（1）同解法一；5分（2）当点A在第一象限时，直线由得，，则中点的坐标为，6分所以直线，①当直线斜率不存在或斜率为零时，不共线，不符合题意；②当直线斜率存在时，设，，由得，，由，得，由韦达定理得，，所以，7分因为在同一直线上，所以，解得，9分所以，n所以，又因为到直线的距离，所以当即时，面积的最大值为3，所以面积的最大值为3.11分当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3.综上，面积的最大值为3.12分21．本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（1）的定义域为，时，，1分，2分所以，3分当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；4分所以，所以在单调递增，即的单调递增区间为，不存在递减区间．5分（2）设，则，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；所以6分n所以时，，即，要证明，只需证明，7分由（1）知，在单调递增，所以，当时，，即，9分所以当时，，所以只需证明，即证明，10分设，则，11分所以在单调递增，所以，所以原不等式成立，综上，当，时，．12分解法二：（1）同解法一．5分（2）同解法一得只需证明，7分设，则，，8分由得，，即，因为，所以，9分又因为，所以，因为，所以，10分n所以，在单调递增，所以，所以在单调递减，所以，即．综上，当，时，．12分解法三：（1）同解法一．5分（2）同解法一得要证明，只需证明，10分即证明，设，则，由得，，即，所以，11分所以在单调递增，所以，即，所以．综上，当，时，．12分解法四：（1）同解法一．5分（2）同解法一得要证明，只需证明，10分即证明，设，则，，因为，所以，所以在单调递减，所以，11分所以在单调递增，所以，即，所以．综上，当，时，．12分22．本题考查极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分10分．n解：（1）当，即时，的普通方程为；1分当，即时，的普通方程为.2分由及得，，即的直角坐标方程为.5分（2）依题意，设：，所以上恰有2个点到的离等于等价于上的点到的距离的最大值为.6分设上任一点,则到的距离（其中），8分当时，，9分解得，，所以的斜率为．10分23．本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想等．满分10分．解：（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，所以；4分综上所述，不等式解集为．5分（2）由，得，当时，恒成立，所以；6分当时，．7分n因为，8分当且仅当即或时，等号成立，9分所以，；综上，的取值范围是．10分