四川省泸县第四中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理 11页

2019年春期四川省泸县第四中学高二期中考试理科数学试题答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为A.B.C.2D.2.已知全集，则A．B．C．D．3.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A.B.C.D.12224.设，，则“”是“”的A.充分而不充分条件B.必要而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何12221222体的体积为A．B．C．D．6．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为4，则判断框中应填入的条件是A．k＜18B．k＜17C．k＜16D．k＜15n7.设变量、满足约束条件，则的最小值为A.-3B.-2C.0D.68．已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A.B.C.D．9.已知平面向量，，当时，的最小值是A．B．C.D．10.已知四面体的四个顶点都在半径为的球面上，是球的直径，且，则四面体的体积为A．B．C.D．11.若函数在处有极大值，则常数为A．2或6B．2C．6D．-2或-612.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是A．B．C．D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知是上的奇函数，且为偶函数，当时，，则．14．的展开式中，满足的的系数之和为．15.已知抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线n上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值为__________.16．设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本大题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数)．(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；(Ⅱ)设点，直线与曲线交于两点，求|QA|·|QB|的值．18.(本题满分12分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1(Ⅰ)根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;(Ⅱ)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：n选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879附：19.（本小题满分12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．（Ⅰ）求和的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与交于，与交于，求证：．20.（本题满分12分）2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：0.0050.02025354555657585频率/组距年龄0.0150.0250.0300.0350.010（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平n均数，近似为样本方差．（i）利用该正态分布，求；（ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则，21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，底面，.（Ⅰ）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；（Ⅱ）当二面角为直二面角时，求的值．21.（本题满分12分）已知.n（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）若有三个零点时，求的范围.2019年春期四川省泸县第四中学高二期中考试理科数学试题答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.C3.A4.B5.D6.C7.C8.D9.C10.B11.C12.D二．填空题13.14.15.16．三.解答题17.(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，所以x2＋y2＝6x＋2y，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x－2y＝0.由，消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－3＝0.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为(t′为参数)………7分代入曲线C的直角坐标方程x2＋y2－6x－2y＝0得t′2＋3t′－5＝0.………9分由韦达定理，得t′1t′2＝－5，则|QA|·|QB|＝|t′1t′2|＝5.………10分18..解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002，D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1n＝20002，则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），…………4分我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（只要言之有理即给2分）…………6分（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，…7分由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2≈6.734，且K2＝6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．…………12分19.解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．1分因为关于对称，所以解得………………3分所以的标准方程为．4分因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．5分（2）设的斜率为，那么其方程为，6分则到的距离，所以．7分n由消去并整理得：．设，则，那么．9分所以．11分所以，即．12分20.(Ⅰ)这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为…2分…4分(Ⅱ)（i）由（1）知，，从而；…7分（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3，，所以的分布列为Y0123P…11分所以Y的数学期望为…12分21解：（1）无论为何值，当为棱的中点时，总有平面；证明如下：如图，连接，则是的中位线，有，n在平面内，所以，平面；（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是.，设平面的法向量为，则，即解得：设平面的法向量为，则，即解得：因为二面角为直二面角，所以，即，得.22.（1）证明：，令，，，，n在上单调递减，，所以原命题成立.（2）由有三个零点可得有三个零点，，①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，时，；时，；时，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，单调递减，由（1）知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知有三个零点，即有三个零点，所求的范围是.n