河南省南阳市第一中学2019届高三数学第十五次考试试题理（含解析） 18页

南阳一中2019年春期高三第15次考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：先化简集合，，利用交集定义能求出详解：则故选点睛：本题主要考查了集合的交集及其运算，利用指数、对数求出不等式解集得到集合，继而求出交集。2.设是虚数单位），则复数在平面内对应（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应点在第四象限，选D.考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为，共轭为3.下列命题是假命题的是（）A.已知随机变量，若，则；nB.在三角形中，是的充要条件；C.向量，，则在的方向上的投影为2；D.命题“或为真命题”是命题“为真命题且为假命题”的必要不充分条件。【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的特征可判断A；根据正弦定理和三角形的性质可判断B；根据向量投影的定义可判断C；根据必要不充分条件的概念，可判断D.【详解】对于A，根据正态分布的对称性可得：若，则，故A正确；对于B，三角形中，大角对大边，大边对大角；所以若则，由正弦定理得；反之，也成立，故B正确；对于C，因为，，所以在的方向上的投影为，故C错误；对于D，若“或为真命题”，则，至少一个为真，不能推出“为真命题且为假命题”；反之，若“为真命题且为假命题”则“或为真命题”，能推出，故D正确；故选C【点睛】本题主要考查命题真假的判断，熟记相关知识点，逐项判断即可，属于基础题型.4.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A.的图象关于直线对称B.的最小正周期为C.的图象关于点对称D.在单调递增【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移变化规律，求解f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断各选项即可．【详解】函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，即f（x）=sinx．n根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=，∴A不对．周期T=2π，∴B不对．对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．故选：D．【点睛】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，平移变化的规律和性质的应用．属于基础题．5.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，则n的值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】以为变量，得，，则，所以最小，故,故选B.7.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性排除B，利用极值点及单调性排除A、C，即可得结论.【详解】∵，∴函数为偶函数，排除B，又x>0时，y=2xlnx，y′=2(1+lnx)=0时，x=，即函数在（0，）单减，在（）单增，排除A、C，故选D.【点睛】本题考查了函数图象的判断，考查了利用导数研究函数的极值、单调性及函数性质的应用，属于中档题．8.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】Bn【解析】由知故所求目标区域为如图，目标函数时，将向上平移得到最优点为B或C，若B为最优点，则目标函数为，因为将向上平移最优点应该为C，这将产生矛盾，若C为最优点，代入符合题意，选B.9.已知，则（）A.9B.36C.84D.243【答案】B【解析】【分析】等价变形为，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有的项，便可得到。【详解】解：展开式中不含；展开式中含的系数为所以，，故选B【点睛】本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题。10.已知圆：，四边形为圆的内接正方形，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过圆的方程求出圆的圆心和半径，得出，利用向量的三角形法则，将转化为，然后利用向量的数量积公式进行求解。【详解】解：因为圆所以，圆心的坐标为（3,3），半径为2所以，n因为，所以，所以，的取值范围为，故选B。【点睛】本题考查向量数量积问题，在解决向量数量积问题时，往往先要利用向量的三角形法则、平行四边形法则等进行等价转化，再利用数量积公式求解。11.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】首先利用题中所给的三视图，将该四棱锥放到长方体中，利用相关数据，得到长方体的长宽高，利用线面垂直得到直角三角形，最后一个利用勾股定理得到其为直角三角形，最后得到结果.【详解】由已知中的某四棱锥的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：根据俯视图是等腰直角三角形，结合图中所给的数据，n可知所以对应的长方体的长宽高分别是，其中三个可以通过线面垂直得到其为直角三角形，右上方那个侧面可以利用勾股定理得到其为直角三角形，所以四个侧面都是直角三角形，故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥的侧面中直角三角形的个数问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，利用长方体研究棱锥，线面垂直的判定和性质，勾股定理证明垂直关系，属于中档题目.12.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由得；；因此由得；所以，；设在上单独递减，即，选D.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系,对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）n13.如图，在中，，，若，则__________．【答案】【解析】【分析】题中条件表示向量是用表示的，故利用三角形法则等知识将向量分解为，即可求出的值。【详解】解：所以，，故。【点睛】向量分解的法则主要是三角形法则和平行四边形法则，向量分解时一定要注意向量的方向性。14.把，，，四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到，，不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有__________种（用数字作答）．【答案】30【解析】【分析】由题意，首先将四本书分成3组，其中1组有两本，剩余2组各一本，有种分组方法，再将这3组对应三个同学，有种方法，则有种情况；再计算两本书分给同一个人的分法数目，若两本书分给同一个人，则剩余的书分给其他两人，有种情况，即可求解答案。【详解】由题意，把四本书分给三位同学，每位同学至少分到一本书的分法数目，首先将四本书分成3组，其中1组有两本，剩余2组各一本，有种分组方法，再将这3组对应三个同学，有种方法，则有种情况；再计算两本书分给同一个人的分法数目，若两本书分给同一个人，则剩余的书分给其他两人，有种情况.n综上可得，两本书不能分给同一个人的不同分法有种.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题、正确理解题意，合理分类讨论是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。15.在中，内角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积计算公式得•a•bcsinA，求出a2＝2bcsinA；利用余弦定理可得cosA，得b2+c2＝a2+2bccosA，代入，化为三角函数求最值即可．【详解】因为S△ABC•a•bcsinA，即a2＝2bcsinA；由余弦定理得cosA，所以b2+c2＝a2+2bccosA＝2bcsinA+2bccosA；代入得2sinA+2cosA＝2sin（A），当A时，取得最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．16.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则该双曲线的离心率为_____．【答案】【解析】【分析】本道题目结合条件,得出a与b，c之间的关系，然后结合离心率计算公式，即可得出答案。n【详解】依题意得:,可以得到,结合题意为直角三角形,,结合余弦的二倍角公式,解得,结合双曲线满足,,所以故离心率【点睛】本道题目考查了二倍角公式和双曲线的性质，可以将双曲线相关题型结合三角函数进行解答。三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若数列满足，求的前项和.【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)先利用项和公式求得，再求等差数列的通项.（2）利用错位相减法求的前项和.【详解】(Ⅰ)因为，①所以当时，，②n得：，即，因为的各项均为正数，所以，且，所以．由①知，，即，又因为，所以．所以．故，所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以．(Ⅱ)由（1）得，所以，所以，③，④，得，当且时，，解得；当时，由③得；综上，数列的前项和【点睛】（1）本题主要考查项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.18.已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.n【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面体A﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【详解】(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC=,AC=,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,所以12＋a2＝()2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为,设面ACD的法向量为n＝(x，y，z),n因为所以，令y＝，得n＝(1，，2)，故二面角A－CD－B的余弦值即为.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.19.为了改善市民的生活环境，南阳市决定对南阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施.通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现南阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布，分值越低，说明污染越严重；如果分值在内，可以认为该企业治污水平基本达标.（1）如图是南阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调查表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元.南阳市决定关停的标准分低于18分的化工企业和的标准分在内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？n（附：若随机变量，则，，）【答案】（1）是；（2）万元.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数；（2）利用正态分布分别计算标准分在[18,34）内的化工厂与标准分低于18分的化工企业的概率，从而得出结果。【详解】（1）该工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值：，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（2）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布，标准分在内的概率，，∴的标准分在内的化工企业，每月可减少的直接损失为：万元，标准分低于18分的概率，，∴万元.故南阳市决定关停的标准分低于18分的化工企业和的标准分在内的化工企业，每月可减少的直接损失约有万元.【点睛】本题考查1.从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并给出合理解释的知识；2.会用频率分布估计总体分布，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示意义，中档题。20.已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.n（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可知，解方程可求c，b，进而可求椭圆方程,（2）设直线与的斜率都存在，分别设为，求得，，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，同理得进而化简可得解.【详解】（1）依题意有，而，故，，从而椭圆：.（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得设，则从而.同理有，从而有n从而为定值.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理的应用，对（2）推得直线与的斜率的乘积为21.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．【详解】（1）定义域为：，当时，.∴在时为减函数；在时为增函数.（2）记，则在上单增，且.∴.∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；n(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数);在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若射线与曲线的交点分别为异于原点),当斜率时,求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将曲线的参数方程化为普通方程，从而求得的极坐标方程，将曲线的极坐标方程两边同乘以，由此可求得的直角坐标方程；（Ⅱ）首先求得射线的极坐标方程，然后联立曲线的极坐标方程，从而利用参数的几何意义求解．试题解析：（I）的极坐标方程为．………………3分的直角坐标方程为．………………5分（II）设射线的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，且，联立得，………………7分联立，得，………………9分所以，即的取值范围是．………………10分考点：1、参数方程；2、极坐标方程与直角坐标方程间的互化．23.已知，，均为正实数.求证：（1）；（2）若，则.【答案】证明过程详见解析【解析】【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立n⑵由基本不等式可得，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证，可证，需证，即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式成立．(2)因为均为正实数，由不等式的性质知，当且仅当时，取等号，当且仅当时，取等号，当且仅当时，取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果。