江苏省海安高级中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题 11页

2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学试卷参考公式：样本数据的方差，其中.棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高.棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.一、填空题1．设全集，集合，则=▲．7984446793（第4题图）2．已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a的值为▲．3.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝▲．4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为▲．5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为▲．6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是▲.ForIFrom1To5Step2EndForPrintEndxyy0-y0O（第8题图）7．已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为▲．n8．若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．9．设实数x，y满足条件则的最大值为▲．10.三棱锥中，是的中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为▲．11.已知四边形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的取值范围是▲．12．若，则▲．13.某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞▲个.14.若正数m，n满足，则的最小值是▲．二、解答题15.已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)∙(cosx－sinx)．（1）求函数f(x)的周期；（2）若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．16．A1ABCC1B1EFD如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为A1B1，B1C1的中点，点F在侧棱BB1上，且，.求证：（1）直线DE∥平面ACF；（2）平面BDE⊥平面ACF.17．已知正项数列{an}首项为2，其前n项和为Sn，满足2Sn－Sn-1＝4(n∈N*，n≥2)．（1）求,的值；（2）求数列{an}的通项公式；n（3）设(n∈N*)，数列{bn·bn＋2}的前n项和为Tn，求证：Tn<.18.如图，A，B两点相距2千米，．甲从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻乙出发，经过小时与甲相遇．（1）若v=12千米/小时，乙从B处出发匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与甲相遇，试求乙速度的最小值；ACB30°（2）若乙先从A处沿射线AB方向以千米/小时匀速行进(＜＜)小时后，再以8千米/小时的速度追赶甲，试求甲在能与乙相遇的条件下v的最大值．19.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，（1）若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方程；（2）设圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆N的标准方程；（3）在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．n20．已知函数，为自然对数的底数.（1）求函数的定义域和单调区间；（2）试比较与的大小，其中；（3）设函数，，求证：函数存在唯一的极值点，且.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）数学附加题21．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是α1＝（1）求矩阵A；（2）设直线l在矩阵A－1对应的变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求直线l的方程．22．已知直线的极坐标方程为θ(R)，它与曲线,(为参数)相交于两点,求的长.n23.某课题小组共10人，已知该小组外出参加交流活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人外出参加交流活动次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；（2）设X为选出2人参加交流活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．24．已知2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，；条直线将一个平面最多分成个部分()（1）试猜想：个平面最多将空间分成多少个部分()?（2）试证明（1）中猜想的结论.n1.2.-23.4..5.0.76.107.48．9．1410．11.12.13.714.15.解：(1)f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝sinxcosx－sin2x＋cos2x－3sinxcosx＝－2sinxcosx＋cos2x＝－sin2x＋cos2x＝2sin，周期T=．(2)f(x0)＝2sin＝，∴sin＝，又x0∈，2x0＋∈，n∴sin>0，∴cos＝－，∴cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.16.证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，在三角形A1B1C1中，D，E分别为A1B1，B1C1的中点，所以DE∥A1C1，于是DE∥AC，又因为DE平面ACF，AC平面ACF，所以直线DE∥平面ACF；（2）在直三棱柱中，因为平面，所以，又因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.因为直线，所以平面BDE⊥平面ACF.17.解：(1),;(2)由2Sn－Sn-1＝4，得2Sn-1－Sn-2＝4(n∈N*，n≥3)，解得(n∈N*，n≥3)，又，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．故.n(3)证明：因为bn＝＝＝，所以bnbn＋2＝＝.故数列的前n项和Tn＝＋＝＝＝－<.ACB30°18.解：（1）设乙速度为x千米/小时，由题意可知(xt)2＝22＋(12t)2－2×2×12tcos30°，整理得x2＝－＋144＝(－6)2＋36.由于0＜t≤，所以≥8，所以，当＝6即t＝时，x2取得最小值36，即x最小值为6.答：乙速度的最小值为6千米/小时.（2）由题意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m×vtcos30°，两边同除以t2得：192()2＋(128－16v)＋v2－64＝0设＝k，0＜k＜1，则有192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)，即关于k的方程192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0在(0，1)上有解，则必有△＝(128－16v)2－4×192×(v2－64)≥0，解得0＜v≤，当v＝时，可得k＝∈(0，1)，因此v为最大值为.答：甲的最大速度为千米/小时.19.解：（1）设圆心为，半径为r．则P到到x轴，y轴距离分别为∣b∣和∣a∣．n由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截x轴所得弦长为．所以，又圆截y轴所得弦长为2．所以，故又因为圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，则，则所求圆的标准方程为；（2）；（3）由（1）知：，又因为P圆心到直线l：x－2y=0的距离为：所以，当且仅当a=b时取“=”号，此时．此时或，.故所求圆的标准方程为或.20.解：（1）函数的定义域为，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以函数的单调递增区间为单调递减区间为；（2）因为，，要比较与的大小，即比较与大小，由（1）知，当，即时，=；当，即且时，；（3）,，令，当x≥e时，x>0，n当0