安徽省蚌埠市2019届高三数学下学期第二次教学质量检查试题文 20页

蚌埠市2019届高三年级第二次教学质量检查考试数学（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解一元一次不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集和并集，并判断出正确选项.【详解】由解得.由，解得；故，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集和并集的运算，考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数.则下列结论正确的是（）A.甲得分的中位数是78B.甲得分的平均数等于乙得分的平均数C.乙得分的平均数和众数都是75D.乙得分的方差大于甲得分的方差【答案】C【解析】【分析】n求出甲的中位数、平均数和方差，求出乙的众数、平均数和方差，由此判断出正确选项.【详解】甲的中位数为，排除A选项.平均数为，方差为.乙的众数为，平均数为，排除B选项，且C选项正确，方差为，排除D选项.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数、众数和方差的计算，属于基础题.3.已知复数满足，其中是虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，进而求得的模.【详解】依题意，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.4.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】列举出所有可能的两位数，并利用古典概型概率计算公式计算出所求的概率.【详解】依题意可知，所有的两位数为，共个，其中能被整除的是共三个，故所求概率为，故选B.【点睛】本小题主要考查利用列举法求古典概型，考查古典概型概率计算公式，属于基础题.5.已知，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件nC.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分析“”和“”范围的包含关系，由此得出正确选项.【详解】由可知，而由“”得；故“”的范围是“”范围的真子集，所以是充分不必要条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分数分母不为零，属于基础题.6.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则的面积为（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义求得点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】依题意抛物线的焦点为，设点横坐标为，根据抛物线的定义可知，，所以，代入抛物线方程得.所以三角形的面积为.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线上点的坐标的求法，属于基础题.7.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，广泛用于建筑.榫卯是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.榫卯结构中凸出的部分叫榫（或叫榫头）.已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（）nA.48B.50C.54D.63【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出原几何体是有两个直棱柱组合而成，画出原图后计算出它们的体积和.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个直棱柱组合而成，画出图像如下图所示，故体积为.故选C.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查柱体的体积计算，考查中国古代数学文化，属于中档题，难点在画出几何体的直观图.8.函数，图象大致为（）nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.9.将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简后，求得伸缩和平移之后的解析式.【详解】依题意，横坐标缩小为原来的得，再将函数图象向n左平移个单位后得，故选B.【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数伸缩和平移变换，属于基础题.10.等差数列的公差为，若，，成以为公比的等比数列，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】将，，转化为的形式，利用三个数成公比为的等比数列列方程，解方程求得的值.【详解】将，，转化为的形式为，由于这三个数成以为公比的等比数列，故，两式相等化简得，代入得，故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查等比数列的概念，属于基础题.11.如图，在长方体中，，，分别在，上，则下列说法错误的是（）A.直线与所成的角为B.当为中点时，平面平面C.当，为中点时，D.当，为中点时，平面【答案】D【解析】【分析】根据线线所称的角的概念、面面垂直、线线垂直和线面垂直的有关定理，对四个选项逐一分n析，由此判断出说法错误的选项.【详解】对于A选项，将平移到如下图所示，由于四边形为正方形，故所成角为，也即所成角为，故A选项正确.对于B选项，由于，满足勾股定理，故，而，故平面，所以平面平面，故B选项正确.对于C选项，由于,故,由此证得平面,故，故C选项正确.对于D选项，虽然，但是与不垂直，故D选项说法错误.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查面面垂直、线线垂直和线面垂直判断与证明，属于中档题.12.已知定义在上的奇函数满足：当及时，不等式恒成立.若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件判断出函数在上为减函数，化简后利用单调性求得，然后利用基本不等式求得的最大值.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，且当及时，不等式恒成立，故函数在时为减函数，根据奇函数的性质可知，函数在上为减函数.由n得，根据函数在上递减有，即恒成立.当时，，即，此时为负数.当时，由于，题目要求的最大值，所以不妨设，由基本不等式得，构造函数，，函数在两侧左减右增，在取得极小值也即是最小值为.故.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用基本不等式和导数求最值问题，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于两个向量平行，故，解得.【点睛】本小题主要考查向量平行的条件，考查运算求解能力，属于基础题.14.设实数，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的取值范围.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值.所以目标函数的取值范围是.n【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的取值范围.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.以双曲线：的右焦点为圆心，半径为的圆与的一条渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），且垂直于轴，则双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据垂直于轴求得点的坐标，根据求得点的坐标，根据圆的半径列方程，由此求得的值，进而求得双曲线的方程.【详解】双曲线的右焦点为，渐近线为，由于垂直于轴，故，即①.设，由得，解得.由②，由①②及，解得.故双曲线方程为n.【点睛】本小题主要考查双曲线的焦点坐标、渐近线方程，考查向量坐标运算，考查圆的几何性质，属于中档题.16.数列满足，（且）.若数列为递增数列，数列为递减数列，且，则__________．【答案】4950【解析】【分析】列举出数列的前几项，找出规律，然后利用并项求和法以及累加法求得的值.【详解】由于数列为递增数列，数列为递减数列，可求得，.故.【点睛】本小题主要考查递推数列求数列的通项公式，考查并项求和法以及累加法，属于中档题.n三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.如图，等腰直角三角形中，，，点为内一点，且，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角的正切公式，求得，得到，从而得到.（2）计算出的长，求得，的值，由正弦定理求得的长，再由余弦定理求得的长.【详解】解：（1）由条件及两角和的正切公式，，而，所以，则.（2）由（1）知，，而在等腰直角三角形中，，，所以，则，进而可求得，.n在中，由正弦定理，，在中，由余弦定理，，∴.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.18.如图所示，菱形的边长为2，，点为中点，现以线段为折痕将菱形折起使得点到达点的位置且平面平面，点，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行四边形证得平面，利用三角形的中位线证得平面，由此证得平面平面.（2）先证得平面，利用等体积法，通过计算出三棱锥的体积.【详解】解：（1）菱形中，，分别为，的中点，所以，四边形为平行四边形，则，又平面，所以平面.又点，分别为，的中点，则，平面，所以平面.而点，所以平面平面.n（2）菱形中，，则为正三角形，∴，，.折叠后，，又平面平面，平面平面，从而平面.在中，点为的中点，则，所以，而，所以.【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查利用等体积法求三棱锥的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号12345年份20142015201620172018数量（单位：辆）3495124181216（1）若私家车的数量与年份编号满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；（2）小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位.为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区.由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交.为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查，统计了他们的拟报竞价，n得到如下频率分布直方图：（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）.参考公式：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）310（2）（i）12（ii）974【解析】【分析】（1）利用回归直线方程方程计算公式，计算出回归直线方程，令求得预测值.（2）（i）根据频率分布直方图计算出不低于的频率，由此计算出人数.（ii）先求得能够竞拍成功的比例为，用求得竞拍成功的最低报价.【详解】解：（1）由表中数据，计算得，，，，，故所求线性回归方程为，令，得，所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆.（2）（i）由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为n，共抽取40位业主，则，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人.（ii）由题意，，所以竞价自高到低排列位于前比例的业主可以竞拍成功，结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为元.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查频率分布直方图的有关计算，属于中档题.20.已知，为椭圆：的上下顶点，右焦点，为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作椭圆的切线与直线相交于点，求在第一象限时，面积的最小值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）设出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，结合，求得的值，再利用及，解得的值，由此求得椭圆方程.（2）设出切线方程，联立切线方程和椭圆方程，利用判别式等于零得到，并由此求得切点的坐标.联立切线方程和，求得点的坐标.求出与直线交点的坐标.求出的表达式，由此求得三角形面积的最小值.【详解】解：（1）设，因为，所以，，所以，n又，所以，所以，又，所以，，所以椭圆标准方程为.（2）设，切线方程为，联立方程组，整理得，由，得，易知，，即.联立，可得，设与直线交与点，所以，所以.而，恰为与点连线的斜率，要使面积最小，只需要切线过点即可，因为在第一象限，所以，，所以，，所以面积的最小值为1.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的三角形面积的最值问题，综合性很强，属于难题.21.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）已知函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.n【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先求得函数的导数，然后对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）由（1）可知，当时，至多1个零点，故不满足条件；当时，求得的最小值，将这个最小值分为非负数或者正数两种情况，结合单调性，讨论函数的零点情况，由此求得实数的取值范围.【详解】解：（1）由条件可知，函数的定义域是.由可得.①当时，在上恒成立，故在上单调递减，不存在单调递增区间；②当时，若，则；若，则，所以在上单调递减，在上单调递增.综上可知：当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为.（2）由（1）可知，当时，至多1个零点，故不满足条件；当时，在上单调递减，在上单调递增.所以，①当时，即，此时至多1个零点，故不满足条件；②当，即，即，又因为，所以，又因为在上单调递增，所以在上有且只有1个零点；n当时，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，又因为当时，所以，所以，又因为在上单调递减，所以在上有且只有一个零点，此时函数有且仅有两个零点.综上可知，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数求解已知函数零点个数，求参数的取值范围问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.是曲线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线与曲线，分别交于，两点（除极点外），且有定点，求的面积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先求得的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程.设出点的极坐标，由此表示出点的极坐标，代入的极坐标方程，化简后得出曲线的极坐标方程.（2）将代入，的极坐标方程求得两点的极坐标，利用求得三角形的面积.【详解】解：（1）由题设，得的直角坐标方程为，即，n故的极坐标方程为，即.设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，即.（2）将代入，的极坐标方程得，.又∵，所以，，∴.【点睛】本小题主要考查参数方程化为极坐标方程，考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的计算，属于中档题.23.已知函数，若不等式的解集为.（1）求的值；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据含有一个绝对值不等式的解法，求解，比较可求得的值.（2）将问题转化为存在解来求解.构造函数，利用零点分段法将其表示为分段函数的形式，由此求得的最小值，根据这个最小值求得的取值范围.【详解】解：（1）∵，∴，即，解得，又∵不等式的解集为，∴.（2）依题意，，故不等式可化为，要使不等式存在解，即存在解，即存在解，n令，∴的最小值为，依题意得，∴.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，考查零用零点分段法将含有绝对值的函数表示为分段函数的形式，考查存在性问题的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.