高考数学复习平面向量第37练平面向量小题综合练练习 6页

第37练平面向量小题综合练[基础保分练]1.(2019·温州模拟)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知α是锐角，a＝，b＝，且a∥b，则α为(　　)A.15°B.30°C.30°或60°D.15°或75°3.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k等于(　　)A.2B.2C.－3D.14.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则等于(　　)A.－B.＋C.－D.＋5.已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.π6.(2019·湖州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)A.1B.C.D.7.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A.重心B.垂心C.外心D.内心8.(2019·台州模拟)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为(　　)A.B.C.4D.5n9.(2019·嘉兴期末)Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则·＝__________；若＝x＋y，则xy＝________.10.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝m＋2m，＝λ，则λ＝____________.[能力提升练]1.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于(　　)A.B.3C.2D.2.在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任一点，若＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值是(　　)A.9B.10C.11D.123.设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　　)A.1B.C.D.24.在平面内，定点A，B，C，O满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，Q满足||＝1，＝，则42－37的最大值是(　　)A.12B.6C.6D.25.(2019·丽水模拟)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点En和点F分别在线段BC和DC上，＝λ，＝，则·的最小值为________.6.(2019·学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若b·c＝0，则|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为________.答案精析基础保分练1.D　2.C　3.C　4.C　5.A　6.D　7.D　8.B　9.4　　10.λ＝能力提升练1.D　[取BC的中点为D，连接OD，AD，则OD⊥BC，又·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝，故选D.]2.D　[由题意可知＝m＋n＝m＋3n，A，B，E三点共线，则m＋3n＝1，据此有＋＝(m＋3n)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当m＝，n＝时等号成立.综上可得＋的最小值是12，故选D.]3.D　[设＝a，＝b，＝c,因为a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，①当O为△ABCn外接圆圆心时，|c|＝|a|＝|b|＝1，②当O，A，B，C四点共圆时，因为＝b－a，||2＝(b－a)2＝b2＋a2－2a·b＝3，所以＝，由正弦定理知2R＝＝2，即过O，A，B，C四点的圆的直径为2，所以|c|的最大值等于直径2，故选D.]4.A　[由题意得·－·＝0，∴·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥，∴O是△ABC的垂心，又||＝||＝||，∴O为△ABC的外心，因此，△ABC的中心为O，且△ABC为正三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系，易得||||cos120°＝－2，∴|＝||＝2，∴B(－，－1)，C(，－1)，A(0,2)，设P(x，y)，∵||＝1，∴x＝cosθ，y＝2＋sinθ，0≤θ<2π，∵＝，∴Q为PC的中点，∴Q，∴||2＝2＋2，∴4||2＝(3＋cosθ)2＋(3＋sinθ)2＝37＋12sin，∴4||2－37＝12sin≤12，故选A.]5.n解析　方法一　∵AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，∴CD＝1，·＝2×1×cos60°＝1，·＝(－)·(＋＋)＝(λ－)·＝(λ－)·＝(λ－)·＝λ＋λ－1－×4＝＋＋≥，当且仅当λ＝时取等号.方法二　∵AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，∴CD＝1，以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，易得A(0,0)，B(2,0)，D，C，＝＋λ＝(2,0)＋λ＝，＝＋＝＋(1,0)＝，∴·＝·＝＋＝1＋－－＋＝＋＋≥，当且仅当λ＝时取等号.6.－3解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设＝a，则A在以O为圆心半径为3的圆上运动.设＝b，＝c，则＝b－c，n取D∈BC，设＝λ(b－c)，则＝(1－λ)(b－c)，取E∈OC使得＝c，则|a－b＋λ(b－c)|＝|－＋|＝||，＝|＋|＝||，∴|a－b＋λ(b－c)|＋＝||＋||，作点E关于BC的对称点E′，则||＝||，由E(0,2)易得E′(3,5)，∴|a－b＋λ(b－c)|＋＝||＋||≥||≥||－3＝－3，且知当A，D在线段OE′上时取等号，∴|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为－3.